高考数学必做百题第13题（文科2017版）

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013. （1）已知复数${{z}_{1}}$满足$\left( {{z}_{1}}-2 \right)\left( 1+i \right)=1-i$（ $i$为虚数单位），复数${{z}_{2}}$的虚部为$2$，且${{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}$是实数，则${{z}_{2}}$=_________。

（2）$\dfrac{{{\left( \sqrt{2}+\sqrt{2}i \right)}^{3}}\left( 4+5i \right)}{\left( 5-4i \right)\left( 1-i \right)}=$________。

解：（1）∵$\left( {{z}_{1}}-2 \right)\left( 1+i \right)=1-i$ ，

∴${{z}_{1}}=2+\dfrac{1-i}{1+i}=2-i$。

∵复数${{z}_{2}}$的虚部为$2$，则设${{z}_{2}}=a+2i\left( a\in R \right)$，

∴${{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}=\left( 2-i \right)\left( a+2i \right)=\left( 2+2a \right)+\left( 4-a \right)i$，

∵${{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}$是实数，当且仅当$4-a=0$，

∴$a=4$，于是${{z}_{2}}=4+2i$。

考点：复数概念，复数相等。

（2）$\dfrac{{{\left( \sqrt{2}+\sqrt{2}i \right)}^{3}}\left( 4+5i \right)}{\left( 5-4i \right)\left( 1-i \right)}$

$=\dfrac{2\sqrt{2}{{\left( 1+i \right)}^{3}}\left( 5-4i \right)i}{\left( 5-4i \right)\left( 1-i \right)}$

$=\dfrac{2\sqrt{2}{{\left( 1+i \right)}^{4}}i}{2}$$=\sqrt{2}{{\left( 1+i \right)}^{4}}i$

$=\sqrt{2}{{\left( 2i \right)}^{2}}i$$=-4\sqrt{2}i$。

考点；复数运算。

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