高考数学必做百题第12题（文科2017版）

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数系的扩充与复数的引入

012.（1）（2016山东文2）若复数$z=\dfrac{2}{1-\text{i}}$，其中i为虚数单位，则$\Mu$ =（    ）

A. $-1-i$              B.$1-i$                C.$-1+i$                D. $1+i$ 

（2）设i是虚数单位，$\overline{z}$是复数$z$的共轭复数，若$z\cdot \overline{z}i+2=2z$，则$z$＝(　　)

$A$.$1+i$    $B$.$1-i$   $C$.$-1+i$   $D$.$-1-i$

解：（1）∵$z=\dfrac{2}{1-i}=\dfrac{2\left( 1+i \right)}{\left( 1-i \right)\left( 1+i \right)}=1+i$，

∴$\overline{z}=1-i$。故选B。

考点：复数的运算，复数的概念。

（2）设$z=a+bi$$\left( a,b\in R \right)$，则

$z\cdot \overline{z}i+2=2z$等价于

$\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)i=2\left( a+bi \right)$等价于

$2+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)i=2a+2bi$等价于

$\left\{ \begin{matrix}   2=2a \\   {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2b  \\\end{matrix} \right.$，解得$\left\{ \begin{matrix}   a=1  \\   b=1  \\\end{matrix} \right.$。

即$z=1+i$。故选$A$。

考点：复数运算，复数相等。

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