高考数学必做百题第11题（文科2017版）

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011.已知点$A( 1,-1 )，B(3,0)，C(2,1)$。若平面区域D由所有满足$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}$ $\left( 1\le \lambda \le 2,\ 0\le \mu \le 1 \right)$

的点P组成，求平面区域D的面积。

解：设P(x，y)，则$\overrightarrow{AP}=\left( x-1,y+1 \right)$。

∵$\overrightarrow{AB}=\left( 2,1 \right)$，$\overrightarrow{AC}=\left( 1,2 \right)$，

又$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}$，

∴$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x-1=2\lambda +\mu ,  \\   y-1=\lambda +2\mu ,  \\\end{array} \right.$

于是$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \lambda =\dfrac{2x-y-3}{3},  \\   \mu =\dfrac{2y-x+3}{3},  \\\end{array} \right.$     

∵$1\le \lambda \le 2,\ 0\le \mu \le 1$，

∴$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   6\le 2x-y\le 9,  \\   0\le x-2y\le 3,  \\\end{array} \right.$ 

如图，联立$\left\{ \begin{matrix}   2x-y=6  \\   x-2y=3  \\\end{matrix} \right.$，解得${{A}_{1}}\left( 3,0 \right)$。

同理求得${{B}_{1}}\left( 4,2 \right)$，${{C}_{1}}\left( 6,3 \right)$。

∵$\left| {{A}_{1}}{{B}_{1}} \right|=\sqrt{{{(4-3)}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}$，

两直线${{A}_{1}}{{B}_{1}},{{D}_{1}}{{C}_{1}}$的距离$d=\dfrac{|9-6|}{\sqrt{{{2}^{2}}+1}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$，

∴${{S}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\left| {{A}_{1}}{{B}_{1}} \right|\cdot d=3$。

∴平面区域D的面积为3。

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