高考数学必做百题第10题（文科2017版）

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010.已知$\left| \overrightarrow{a} \right|=4,\left| \overrightarrow{b} \right|=3$，$(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})\cdot (2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=61$，

（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角$\theta$；

（2）求$\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|$；

（2）若$\overrightarrow{c}=(1,2)$，且$\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{c}$，求$\overrightarrow{a}$。

解：（1）∵$(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})\cdot (2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$

$\begin{align}  & =4{{\overrightarrow{a}}^{2}}-4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-3{{\overrightarrow{b}}^{2}} \\ & =4\times 16-4\times 4\times 3\times \cos \theta -3\times 9 \\ & =61 \end{align}$，

∴$\cos \theta$＝$-\dfrac{1}{2}$，又$\theta \in \left[ 0,\pi  \right]$，

∴$\theta =\dfrac{2\pi }{3}$。

（2）${{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\left( \overrightarrow{a}+\ \overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}$

＝42 ＋2×(－6)＋32 ＝13，

∴$\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{13}$。

（3）设$\overrightarrow{a}=(x,y)$，∵$\overrightarrow{c}=(1,2)$，且$\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{c}$，

∴$\left( 1,2 \right)\cdot \left( x,y \right)=0$，即$x+2y=0$。

由$\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{4}^{2}} \\ & x+2y=0 \\ \end{align} \right.$，得$5{{y}^{2}}=16$，

解得$\left\{ \begin{align}  & x=-\dfrac{8\sqrt{5}}{5} \\ & y=\dfrac{4\sqrt{5}}{5} \\ \end{align} \right.$或$\left\{ \begin{align}  & x=\dfrac{8\sqrt{5}}{5} \\ & y=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5} \\ \end{align} \right.$。

∴ $\overrightarrow{a}=(-\dfrac{8\sqrt{5}}{5},\dfrac{4\sqrt{5}}{5})$或$(\dfrac{8\sqrt{5}}{5},-\dfrac{4\sqrt{5}}{5})$。

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