| 2024年高考数学新高考Ⅱ-19 |
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2024-08-27 16:01:08 |
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（17分）已知双曲线C:x2−y2=m(m>0)，点P1(5,4)在C上，k为常数，0<k<1，按照如下方式依次构造点Pn(n=2，3，⋯)，过Pn−1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn−1，令Pn为Qn−1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn，yn)．
（1）若k=12，求x2，y2；
（2）证明：数列{xn−yn}是公比为1+k1−k的等比数列；
（3）设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对任意的正整数n，Sn=Sn+1．
分析：（1）根据已知条件，先求出直线方程，再与曲线方程联立，即可求解；
（2）根据已知条件，推得yn−yn−1−xn−xn−1=k，再结合Pn−1，Qn−1都在双曲线上，以及等比数列的定义，即可求证；
（3）要证：Sn=Sn+1，只需先尝试Pn+1Pn+2//PnPn+3，即先证kPn+1Pn+2=kPnPn+3，再结合换元法，以及直线的斜率公式，即可求解．
解：（1）∵P1(5,4)在C上，
∴25−16=m，解得m=9，
过P(5,4)且斜率为k=12的直线方程为y−4=12(x−5)，即x−2y+3=0，
联立{x2−y2=9x−2y+3=0，解得{x=5y=4或{x=3y=0，
故Q1(−3,0)，P2(3,0)，
过Pn−1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn−1，令Pn为Qn−1关于y轴的对称点，
所以x2=3，y2=0；
（2）证明：∵Pn(xn，yn)关于y轴的对称点是Qn−1(−xn，yn)，
Pn−1(xn−1，yn−1)，Pn−1，Qn−1都在同一条斜率为k的直线上，xn−1≠−xn；
则yn−yn−1−xn−xn−1=k，
∵Pn−1，Qn−1都在双曲线上，
∴{x2n−y2n=9x2n−1−y2n−1=9，两式相减可得，(xn−xn−1)(xn+xn−1)=(yn−yn−1)(yn+yn−1)，
而yn−yn−1=−k(xn+xn−1)①，xn−xn−1=−k(yn+yn−1)②，
则②−①可得，xn−yn−(xn−1−yn−1)=k(xn−yn)+k(xn−1−yn−1)，
则(1−k)(xn−yn)=(1+k)(xn−1−yn−1)，
∴xn−ynxn−1−yn−1=1+k1−k，
故数列{xn−yn}是公比为1+k1−k的等比数列；
（3）证明：要证：Sn=Sn+1，只需先尝试Pn+1Pn+2//PnPn+3，
即先证kPn+1Pn+2=kPnPn+3，
记t=1+k1−k，
0<k<1，
则t>1，
xn−yn=(x1−y1)(1+k1−k)n−1=tn−1，
而x2n−y2n=9，
∴xn+yn=9t1−n，
∴yn=12(−tn−1+9t1−n)，
∴kPn+1Pn+2
=xn+2−xn+1yn+2−yn+1
=yn+2+tn+1−yn+1−tnyn+2−yn+1
=1+2tn(t−1)(−tn+19t−1−n)−(−tn+9t−n)
=1+2tn(t−1)(−9t−1−n−tn)(t−1)
=1−2tn9t−1−n+tn，
kPnPn+3
=yn+3+tn+2−yn−tn−1yn+3−yn
=1+2tn−1(t3−1)(−tn+2+9t−2−n)−(−tn−1+9t1−n)
=1+2tn−1(t3−1)(−9t−2−n−tn−1)(t3−1)
=1−2tn−19t−2−n+tn−1
=1−2tn9t−1−n+tn，
∴kPn+1Pn+2=kPnPn+3，
∴Pn+1Pn+2//PnPn+3，
∴Sn=Sn+1．
点评：本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于难题．
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