|
2024年高考数学新高考Ⅰ-17<-->2024年高考数学新高考Ⅰ-19
（17分）已知函数$f(x)=\ln \dfrac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^{3}$．
（1）若$b=0$，且$f\prime (x)\geqslant 0$，求$a$的最小值；
（2）证明：曲线$y=f(x)$是中心对称图形；
（3）若$f(x) > -2$当且仅当$1 < x < 2$，求$b$的取值范围．
答案：（1）$-2$．
（2）$[-\dfrac{2}{3}$，$+\infty )$．
分析：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{x}{2-x} > 0}\\ {2-x\ne 2}\end{array}\right.$，解得函数$f(x)$的定义域，当$b=0$时，$f(x)=\ln \dfrac{x}{2-x}+ax$，求导，结合基本不等式，即可得出答案．
（2）计算$f(2-x)+f(x)$，即可得出答案．
（3）根据题意可得$f(x)=\ln \dfrac{x}{2-x}-2x+b(x-1)^3 > -2$对$\forall 1 < x < 2$恒成立，求导分析单调性，最值，即可得出答案．
解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{x}{2-x} > 0}\\ {2-x\ne 2}\end{array}\right.$，解得$0 < x < 2$，
所以函数$f(x)$的定义域为$(0,2)$，
当$b=0$时，$f(x)=\ln \dfrac{x}{2-x}+ax$，
所以$f'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2-x}+a\geqslant 0$，对$\forall 0 < x < 2$恒成立，
又$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2-x}+a=\dfrac{2}{x(2-x)}+a\geqslant 2+a$，当且仅当$x=1$时取“$=$”，
所以只需$2+a\geqslant 0$，即$a\geqslant -2$，
所以$a$的最小值为$-2$．
（2）证明：$x\in (0,2)$，$f(2-x)+f(x)=\ln \dfrac{2-x}{x}+a(2-x)+b(1-x)^3+\ln \dfrac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3=2a$，
所以$f(x)$关于点$(1,a)$中心对称．
（3）因为$f(x) > -2$当且仅当$1 < x < 2$，
所以$f$（1）$=-2$，即$a=-2$，
所以$f(x)=\ln \dfrac{x}{2-x}-2x+b(x-1)^3 > -2$对$\forall 1 < x < 2$恒成立，
$f\prime (x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2-x}-2+3b(x-1)^{2}=\dfrac{2(x-1)^{2}}{x(2-x)}+3b(x-1)^{2}=(x-1)^{2}[\dfrac{2}{x(2-x)}+2b]$，
令$g(x)=\dfrac{2}{x(2-x)}+3b$，
所以必有$g$（1）$=2+3b\geqslant 0$，得到$b\geqslant -\dfrac{2}{3}$（必要性），
否则$b < -\dfrac{2}{3}$，存在$x\in (1,\delta )$使$f\prime (x) < 0$，$f(x)$在$(1,2)$上单调递减，
所以$f(x) < f$（1）$=-2$，
当$b\geqslant -\dfrac{2}{3}$ 时，对$\forall x\in (1,2)$，$f(x)\geqslant \ln \dfrac{x}{2-x}-2x-\dfrac{2}{3}(x-1)^3=h(x)$，
$h'(x)=\dfrac{2(x-1)^2}{x(2-x)}-2(x-1)^2=2(x-1)^2[\dfrac{1}{x(2-x)}-1] > 0$，对$\forall x\in (1,2)$恒成立，
所以$h(x) > h$（1）$=-2$符合题意，
综上所述：$b\geqslant -\dfrac{2}{3}$，
所以$b$的取值范围为$[-\dfrac{2}{3}$，$+\infty )$．
点评：本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
2024年高考数学新高考Ⅰ-17<-->2024年高考数学新高考Ⅰ-19
全网搜索"2024年高考数学新高考Ⅰ-18"相关
|
