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2024年高考数学新高考Ⅰ-16<-->2024年高考数学新高考Ⅰ-18
（15分）如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=√3．
（1）若AD⊥PB，证明：AD//平面PBC；
（2）若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为√427，求AD．
答案：（1）证明详情见解答．
（2）AD=√3．
分析：（1）由PA⊥面ABCD，结合线面垂直的性质定理可得PA⊥AD，又AD⊥PB，结合线面垂直的判定定理可得AD⊥面PAB，则AD⊥AB，推出AD//BC，结合线面平行的判定定理，即可得出答案．
（2）以DA，DC为x，y轴，过点D作平面ABCD垂直的线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系D−xyz，令AD=t，则DC=√4−t2，C(0，√4−t2，0)，求出平面ACP的法向量→n1=(x1，y1，z1)，平面CPD的法向量为→n2=(x2，y2，z2)，则√77=|cos<→n1，→n2>|=|→n1⋅→n2|→n1||→n2|，解得t，即可得出答案．
解：（1）证明：因为PA⊥面ABCD，AD⊂面ABCD，
所以PA⊥AD，
又因为AD⊥PB，PB⋂PA=P，PB，PA⊂面PAB，
所以AD⊥面PAB，
又AB⊂面PAB，
所以AD⊥AB，
在ΔABC中，AB2+BC2=AC2，
所以AB⊥BC，
因为A，B，C，D四点共面，
所以AD//BC，
又因为BC⊂面PBC，AD⊄面PBC，
所以AD//面PBC．
（2）以DA，DC为x，y轴，过点D作平面ABCD垂直的线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系D−xyz:
令AD=t，则A(t，0，0)，P(t，0，2)，D(0，0，0)，
DC=√4−t2，C(0，√4−t2，0)，
设平面ACP的法向量→n1=(x1，y1，z1)，
所以{→n1⋅→AC=−tx1+√4−t2y1=02z1=0，
设x1=√4−t2，则y1=t，z1=0，
所以→n1=(√4−t2，t，0)，
设平面CPD的法向量为→n2=(x2，y2，z2)，
所以{→n2⋅→DP=tx2+2z2=0→n2⋅→DC=√4−t2y2=0，
设z2=t，则x2=−2，y2=0，
所以→n2=(−2，0，t)，
因为二面角A−CP−D的正弦值为√427，则余弦值为√77，
所以√77=|cos<→n1，→n2>|=|→n1⋅→n2|→n1||→n2|=2√4−t22√t2+4，
所以t=√3，
所以AD=√3．
点评：本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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