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2024年高考数学新高考Ⅰ-19

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（17分）设

$m$ 为正整数，数列

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{4m+2}$ 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项

$a_{i}$ 和

$a_{j}(i < j)$ 后剩余的

$4m$ 项可被平均分为

$m$ 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列

$a_{1}$ ，

$a_{2}\ldots$ ，

$a_{4m+2}$ 是

$(i,j)$ ——可分数列．
（1）写出所有的

$(i,j)$ ，

$1\leqslant i < j\leqslant 6$ ，使数列

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{6}$ 是

$(i,j)$ ——可分数列；
（2）当

$m\geqslant 3$ 时，证明：数列

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{4m+2}$ 是

$(2,13)$ ——可分数列；
（3）从1，2，

$\ldots$ ，

$4m+2$ 中一次任取两个数

$i$ 和

$j(i < j)$ ，记数列

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{4m+2}$ 是

$(i,j)$ ——可分数列的概率为

$P_{m}$ ，证明：

$P_{m} > \dfrac{1}{8}$ ．
答案：（1）

$(i,j)$ 可以为

$(1,2)$ ，

$(1,6)$ ，

$(5,6)$ ；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
分析：（1）直接根据

$(i,j)$ ——可分数列的定义写出所有的

$(i,j)$ 即可；
（2）先证明当

$m=3$ 时，数列

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{14}$ 是

$(2,13)$ ——可分数列，再证明

$m > 3$ 时数列

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{4m+2}$ 也是

$(2,13)$ ——可分数列；
（3）先证明

$m=1$ ，

$m=2$ 时，

$P_{m} > \dfrac{1}{8}$ 成立，再结合排列组合知识归纳出

$m$ 属于一切正整数都成立即可．
解：（1）根据题意，可得当

$(i,j)$ 取

$(1,2)$ 时，可以分为

$a_{3}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{5}$ ，

$a_{6}$ 一组公差为

$d$ 的等差数列，
当

$(i,j)$ 取

$(1,6)$ 时，可以分为

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{5}$ 一组公差为

$d$ 的等差数列，
当

$(i,j)$ 取

$(5,6)$ 时，可以分为

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{4}$ 一组公差为

$d$ 的等差数列，
所以

$(i,j)$ 可以为

$(1,2)$ ，

$(1,6)$ ，

$(5,6)$ ；
（2）证明：当

$m=3$ 时，

$a_{1}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{5}$ ，

$a_{6}$ ，

$a_{7}$ ，

$a_{8}$ ，

$a_{9}$ ，

$a_{10}$ ，

$a_{11}$ ，

$a_{12}$ ，

$a_{14}$ ，
可以分为

$a_{1}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{7}$ ，

$a_{10}$ ；

$a_{3}$ ，

$a_{6}$ ，

$a_{9}$ ，

$a_{12}$ ；

$a_{5}$ ，

$a_{8}$ ，

$a_{11}$ ，

$a_{14}$ 三组公差为

$3d$ 的等差数列，
所以

$m=3$ 时符合题意；
当

$m > 3$ 时，数列

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{4m+2}$ 去掉

$a_{2}$ 和

$a_{13}$ 后，
前三组还按照

$m=3$ 时的分法，即

$a_{1}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{7}$ ，

$a_{10}$ ；

$a_{3}$ ，

$a_{6}$ ，

$a_{9}$ ，

$a_{12}$ ；

$a_{5}$ ，

$a_{8}$ ，

$a_{11}$ ，

$a_{14}$ ，
后面的每四个相邻的项分为一组，即

$a_{15}$ ，

$a_{16}$ ，

$a_{17}$ ，

$a_{18}$ ；

$...$ ；

$a_{4m-1}$ ，

$a_{4m}$ ，

$a_{4m+1}$ ，

$a_{4m+2}$ ，
每一组都能构成等差数列，
所以数列

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{4m+2}$ 是

$(2,13)$ ——可分数列；
（3）证明：当

$m=1$ 时，数列：

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{5}$ ，

$a_{6}$ 为可分数列的概率为

$P_m=\dfrac{3}{C_6^2}=\dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{8}$ ，
当

$m=2$ 时，数列

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{3}\ldots$ ，

$a_{10}$ 为可分数列的概率为

$P_{m}=\dfrac{7}{C_{10}^{2}}=\dfrac{7}{15} > \dfrac{1}{8}$ ，
以此类推，且易知1，2，

$\ldots$ ，

$4m+2$ 是

$(4k+1,4r+2)$ 可分的

$(0\leqslant k\leqslant r\leqslant m)$ ，
此时共有

$C_{m+1}^{2}+m+1=\dfrac{m(m+1)}{2}+m+1=\dfrac{1}{2}(m+1)(m+2)$ 种，
且易证数列也是

$(4k+2,4r+1)$ 可分的

$(0\leqslant k < r\leqslant m)$ ，
至少有

$C_{m+2}^{2}-m=\dfrac{1}{2}m(m-1)$ 种，
综上：可行的

$(4k+2,4r+1)$ 与

$(4k+1,4r+2)$ 至少

$\dfrac{1}{2}m(m-1)+\dfrac{1}{2}(m+1)(m+2)=m^2+m+1$ 组，

$\therefore P_{m}\geqslant \dfrac{{m}^{2}+m+1}{{C}_{4m+2}^{2}}=\dfrac{{m}^{2}+m+1}{(2m+1)(4m+1)}=\dfrac{{m}^{2}+m+1}{8{m}^{2}+6m+1} > \dfrac{1}{8}$ ．
点评：本题考查了数列新定义问题，排列组合问题，古典概型，是难题．

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