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2024年高考数学新高考Ⅰ-16

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（15分）已知

$A(0,3)$ 和

$P(3,\dfrac{3}{2})$ 为椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0)$ 上两点．
（1）求

$C$ 的离心率；
（2）若过

$P$ 的直线

$l$ 交

$C$ 于另一点

$B$ ，且

$\Delta ABP$ 的面积为9，求

$l$ 的方程．
答案：（1）

$\dfrac{1}{2}$ ；（2）

$y=\dfrac{1}{2}x$ 或

$y=\dfrac{3}{2}x-3$ ．
分析：（1）根据联立关于

$a$ ，

$b$ 的方程组，再利用离心率公式得解；
（2）分直线

$l$ 的斜率不存在及存在两种情况，结合

$\Delta ABP$ 的面积为9，可得答案．
解：（1）依题意，

$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{9}{{b}^{2}}=1}\\ {\dfrac{9}{{a}^{2}}+\dfrac{\dfrac{9}{4}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$ ，解得

$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=12}\\ {{b}^{2}=9}\end{array}\right.$ ，
则离心率

$e=\sqrt{1-\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\dfrac{9}{12}}=\dfrac{1}{2}$ ；
（2）由（1）可知，椭圆

$C$ 的方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{12}+\dfrac{{y}^{2}}{9}=1$ ，
当直线

$l$ 的斜率不存在时，直线

$l$ 的方程为

$x=3$ ，易知此时

$B(3,-\dfrac{3}{2})$ ，
点

$A$ 到直线

$PB$ 的距离为3，则

${S}_{\Delta ABP}=\dfrac{1}{2}\times 3\times 3=\dfrac{9}{2}$ ，与已知矛盾；
当直线

$l$ 的斜率存在时，设直线

$l$ 的方程为

$y-\dfrac{3}{2}=k(x-3)$ ，即

$y=k(x-3)+\dfrac{3}{2}$ ，
设

$P(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$B(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-3)+\dfrac{3}{2}}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{12}+\dfrac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$ ，
消去

$y$ 整理可得，

$(4k^{2}+3)x^{2}-(24k^{2}-12k)x+36k^{2}-36k-27=0$ ，
则

${x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{24{k}^{2}-12k}{4{k}^{2}+3},{x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{36{k}^{2}-36k-27}{4{k}^{2}+3}$ ，
由弦长公式可得，

$\vert PB\vert =\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$

$=\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{(\dfrac{24{k}^{2}-12k}{4{k}^{2}+3})^{2}-4\times \dfrac{36{k}^{2}-36k-27}{4{k}^{2}+3}}$

$=\dfrac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{3{k}^{2}+9k+\dfrac{27}{4}}}{4{k}^{2}+3}$ ，
点

$A$ 到直线

$l$ 的距离为

$d=\dfrac{\vert 3k+\dfrac{3}{2}\vert }{\sqrt{1+{k}^{2}}}$ ，
则

$\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{3{k}^{2}+9k+\dfrac{27}{4}}}{4{k}^{2}+3}\times \dfrac{\vert 3k+\dfrac{3}{2}\vert }{\sqrt{1+{k}^{2}}}=9$ ，
解得

$k=\dfrac{1}{2}$ 或

$k=\dfrac{3}{2}$ ，
则直线

$l$ 的方程为

$y=\dfrac{1}{2}x$ 或

$y=\dfrac{3}{2}x-3$ ．
点评：本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．

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