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2024年高考数学新高考Ⅰ-15<-->2024年高考数学新高考Ⅰ-17
（15分）已知$A(0,3)$和$P(3,\dfrac{3}{2})$为椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0)$上两点．
（1）求$C$的离心率；
（2）若过$P$的直线$l$交$C$于另一点$B$，且$\Delta ABP$的面积为9，求$l$的方程．
答案：（1）$\dfrac{1}{2}$；（2）$y=\dfrac{1}{2}x$或$y=\dfrac{3}{2}x-3$．
分析：（1）根据联立关于$a$，$b$的方程组，再利用离心率公式得解；
（2）分直线$l$的斜率不存在及存在两种情况，结合$\Delta ABP$的面积为9，可得答案．
解：（1）依题意，$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{9}{{b}^{2}}=1}\\ {\dfrac{9}{{a}^{2}}+\dfrac{\dfrac{9}{4}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=12}\\ {{b}^{2}=9}\end{array}\right.$，
则离心率$e=\sqrt{1-\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\dfrac{9}{12}}=\dfrac{1}{2}$；
（2）由（1）可知，椭圆$C$的方程为$\dfrac{{x}^{2}}{12}+\dfrac{{y}^{2}}{9}=1$，
当直线$l$的斜率不存在时，直线$l$的方程为$x=3$，易知此时$B(3,-\dfrac{3}{2})$，
点$A$到直线$PB$的距离为3，则${S}_{\Delta ABP}=\dfrac{1}{2}\times 3\times 3=\dfrac{9}{2}$，与已知矛盾；
当直线$l$的斜率存在时，设直线$l$的方程为$y-\dfrac{3}{2}=k(x-3)$，即$y=k(x-3)+\dfrac{3}{2}$，
设$P(x_{1}$，$y_{1})$，$B(x_{2}$，$y_{2})$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-3)+\dfrac{3}{2}}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{12}+\dfrac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，
消去$y$整理可得，$(4k^{2}+3)x^{2}-(24k^{2}-12k)x+36k^{2}-36k-27=0$，
则${x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{24{k}^{2}-12k}{4{k}^{2}+3},{x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{36{k}^{2}-36k-27}{4{k}^{2}+3}$，
由弦长公式可得，
$\vert PB\vert =\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
$=\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{(\dfrac{24{k}^{2}-12k}{4{k}^{2}+3})^{2}-4\times \dfrac{36{k}^{2}-36k-27}{4{k}^{2}+3}}$
$=\dfrac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{3{k}^{2}+9k+\dfrac{27}{4}}}{4{k}^{2}+3}$，
点$A$到直线$l$的距离为$d=\dfrac{\vert 3k+\dfrac{3}{2}\vert }{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则$\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{3{k}^{2}+9k+\dfrac{27}{4}}}{4{k}^{2}+3}\times \dfrac{\vert 3k+\dfrac{3}{2}\vert }{\sqrt{1+{k}^{2}}}=9$，
解得$k=\dfrac{1}{2}$或$k=\dfrac{3}{2}$，
则直线$l$的方程为$y=\dfrac{1}{2}x$或$y=\dfrac{3}{2}x-3$．
点评：本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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