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2024年高考数学新高考Ⅰ-15

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（13分）记

$\Delta ABC$ 的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，已知

$\sin C=\sqrt{2}\cos B$ ，

$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$ ．
（1）求

$B$ ；
（2）若

$\Delta ABC$ 的面积为

$3+\sqrt{3}$ ，求

$c$ ．
答案：（1）

$\dfrac{\pi }{3}$ ；
（2）

$2\sqrt{2}$ ．
分析：（1）利用余弦定理化简

$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$ ，得到

$C=\dfrac{\pi }{4}$ ，由此算出

$\cos B=\dfrac{1}{2}$ ，结合

$B\in (0,\pi )$ ，可得角

$B$ 的大小；
（2）设

$\Delta ABC$ 的外接圆半径为

$R$ ，由

$\Delta ABC$ 的面积为

$3+\sqrt{3}$ 建立关于

$R$ 的方程，解出

$R$ 的值，进而利用正弦定理算出边

$c$ 的值．
解：（1）因为

$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$ ，
所以

$\cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\dfrac{\sqrt{2}ab}{2ab}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，
结合

$C$ 为三角形的内角，可得

$C=\dfrac{\pi }{4}$ ．
因为

$\sin C=\sqrt{2}\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，
所以

$\cos B=\dfrac{1}{2}$ ，
结合

$B\in (0,\pi )$ ，得

$B=\dfrac{\pi }{3}$ ；
（2）由（1）可知

$A=\pi -B-C=\dfrac{5\pi }{12}$ ，设

$\Delta ABC$ 的外接圆半径为

$R$ ，
由正弦定理得

$b=2R\sin B=\sqrt{3}R$ ，

$c=2R\sin C=\sqrt{2}R$ ，
由

$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=3+\sqrt{3}$ ，
得

$\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{3}R\cdot \sqrt{2}R\cdot \sin \dfrac{5\pi }{12}=3+\sqrt{3}$ ，
即

$\dfrac{\sqrt{6}R^{2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=3+\sqrt{3}$ ，
解得

$R^{2}=4$ ，所以

$R=2$ （舍负），
可得

$c=\sqrt{2}R=2\sqrt{2}$ ．
点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．

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