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2024年高考数学新高考Ⅰ-11<-->2024年高考数学新高考Ⅰ-13
（5分）设双曲线$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，过$F_{2}$作平行于$y$轴的直线交$C$于$A$，$B$两点，若$\vert F_{1}A\vert =13$，$\vert AB\vert =10$，则$C$的离心率为____．
答案：$\dfrac{3}{2}$．
分析：由题意求出$\vert F_{1}A\vert$，$\vert F_{2}A\vert$，利用双曲线的定义求出$a$和$b^{2}$、$c$，即可求出双曲线$C$的离心率．
解：由题意知，$\vert F_{1}A\vert =13$，$\vert F_{2}A\vert =\dfrac{1}{2}\vert AB\vert =5$，
所以$\vert F_{1}A\vert -\vert F_{2}A\vert =2a=8$，解得$a=4$；
又$x=c$时，$y=\dfrac{{b}^{2}}{a}$，即$\vert F_{2}A\vert =\dfrac{{b}^{2}}{a}=5$，
所以$b^{2}=5a=20$，
所以$c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+20=36$，所以$c=6$，
所以双曲线$C$的离心率为$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{2}$．
故答案为：$\dfrac{3}{2}$．
点评：本题考查了双曲线的定义与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
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