2024年高考数学新高考Ⅰ-12

（5分）设双曲线

$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$ 的左、右焦点分别为

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ ，过

$F_{2}$ 作平行于

$y$ 轴的直线交

$C$ 于

$A$ ，

$B$ 两点，若

$\vert F_{1}A\vert =13$ ，

$\vert AB\vert =10$ ，则

$C$ 的离心率为____．
答案：

$\dfrac{3}{2}$ ．
分析：由题意求出

$\vert F_{1}A\vert$ ，

$\vert F_{2}A\vert$ ，利用双曲线的定义求出

$a$ 和

$b^{2}$ 、

$c$ ，即可求出双曲线

$C$ 的离心率．
解：由题意知，

$\vert F_{1}A\vert =13$ ，

$\vert F_{2}A\vert =\dfrac{1}{2}\vert AB\vert =5$ ，
所以

$\vert F_{1}A\vert -\vert F_{2}A\vert =2a=8$ ，解得

$a=4$ ；
又

$x=c$ 时，

$y=\dfrac{{b}^{2}}{a}$ ，即

$\vert F_{2}A\vert =\dfrac{{b}^{2}}{a}=5$ ，
所以

$b^{2}=5a=20$ ，
所以

$c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+20=36$ ，所以

$c=6$ ，
所以双曲线

$C$ 的离心率为

$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{2}$ ．
故答案为：

$\dfrac{3}{2}$ ．

点评：本题考查了双曲线的定义与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．

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