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2024年高考数学新高考Ⅰ-11

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（6分）造型

$\propto$ 可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线

$C$ 的一部分，已知

$C$ 过坐标原点

$O$ ，且

$C$ 上的点满足横坐标大于

$-2$ ，到点

$F(2,0)$ 的距离与到定直线

$x=a(a < 0)$ 的距离之积为4，则(　　)

A．

$a=-2$
B．点

$(2\sqrt{2}$ ，

$0)$ 在

$C$ 上
C．

$C$ 在第一象限的纵坐标的最大值为1
D．当点

$(x_{0}$ ，

$y_{0})$ 在

$C$ 上时，

$y_{0}\leqslant \dfrac{4}{{x}_{0}+2}$
答案：

$ABD$
分析：结合题中新定义的曲线的性质对选项一一判断即可．
解：

$A$ 对，因为

$O$ 在曲线上，所以

$O$ 到

$x=a$ 的距离为

$-a$ ，而

$OF=2$ ，所以有

$-a\cdot 2=4$ ，

$a=-2$ ，那么曲线的方程为

$(x+2)\sqrt{(x-2)^2+y^2}=4$ ，

$B$ 对，因为代入

$(2\sqrt{2},0)$ 知满足方程；

$C$ 错，因为

$y^2=(\dfrac{4}{x+2})^2-(x-2)^2=f(x)$ ，求导得

$f'(x)=-\dfrac{32}{(x+2)^3}-2(x-2)$ ，那么有

$f$ （2）

$=1$ ，

$f'(2)=-\dfrac{1}{2} < 0$ ，
于是在

$x=2$ 的左侧必存在一小区间

$(2-s$ ，

$2)(s$ 可以取无限小的数）上满足

$f(x) > 1$ ，因此最大值一定大于1；

$D$ 对，曲线的方程为

$(x+2)\sqrt{(x-2)^2+y^2}=4$ ，
可化为

$(x-2)^{2}+y^{2}=(\frac{4}{x+2})^{2}$ ，
即

$y^{2}=(\dfrac{4}{x+2})^{2}-(x-2)^{2}$ ，
因为

$y_{0}^{2}=(\dfrac{4}{x_{0}+2})^{2}-(x_{0}-2)^{2}\leqslant (\dfrac{4}{x_{0}+2})^{2}\Rightarrow y_{0}\leqslant \dfrac{4}{x_{0}+2}$ ．
故选：

$ABD$ ．
点评：本题考查了点的轨迹方程，新定义问题，是中档题．

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