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2024年高考数学新高考Ⅰ-9<-->2024年高考数学新高考Ⅰ-11
（6分）设函数$f(x)=(x-1)^{2}(x-4)$，则( )
A．$x=3$是$f(x)$的极小值点
B．当$0 < x < 1$时，$f(x) < f(x^{2})$
C．当$1 < x < 2$时，$-4 < f(2x-1) < 0$
D．当$-1 < x < 0$时，$f(2-x) > f(x)$
答案：ACD
分析：对于$A$，对函数$f(x)$求导，判断其单调性，进而得到极值情况，可判断；对于$B$，由$0 < x^{2} < x < 1$，结合单调性，可判断；对于$C$，直接计算$f(2x-1)$以及$f(2x-1)+4$与0的关系，可判断；对于$D$，利用作差法，可判断．
解：对于$A$，$f\prime (x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)^{2}=3(x-1)(x-3)$，
易知当$x\in (1,3)$时，$f\prime (x) < 0$，则函数$f(x)$在$(1,3)$上单调递减，
当$x\in (-\infty$，$1)\bigcup (3$，$+\infty )$时，$f\prime (x) > 0$，则函数$f(x)$在$(-\infty ,1)$，$(3,+\infty )$上单调递增，
故$x=3$是函数$f(x)$的极小值点，选项A正确；
对于$B$，当$0 < x < 1$时，$0 < x^{2} < 1$，且$x^{2} < x$，
又$f(x)$在$(0,1)$上单调递增，
则$f(x^{2}) < f(x)$，选项B错误；
对于$C$，由于$1 < x < 2$，
一方面，$f(2x-1)=(2x-2)^{2}(2x-5)=4(x-1)^{2}(2x-5) < 0$，
另一方面，$f(2x-1)+4=4(x-1)^{2}(2x-5)+4=4[(x-1)^{2}(2x-5)+1]=4(x-2)^{2}(2x-1) > 0$，
则$-4 < f(2x-1) < 0$，选项C正确；
对于$D$，由于$-1 < x < 0$，
则$f(2-x)-f(x)=(x-1)^{2}(-2-x)-(x-1)^{2}(x-4)=(x-1)^{2}(2-2x)=-2(x-1)^{3} > 0$，
即$f(2-x) > f(x)$，选项D正确．
故选：ACD．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值点，考查运算求解能力，属于中档题．
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