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2024年高考数学新高考Ⅰ-9<-->2024年高考数学新高考Ⅰ-11
（6分）设函数f(x)=(x−1)2(x−4)，则( )
A．x=3是f(x)的极小值点
B．当0<x<1时，f(x)<f(x2)
C．当1<x<2时，−4<f(2x−1)<0
D．当−1<x<0时，f(2−x)>f(x)
答案：ACD
分析：对于A，对函数f(x)求导，判断其单调性，进而得到极值情况，可判断；对于B，由0<x2<x<1，结合单调性，可判断；对于C，直接计算f(2x−1)以及f(2x−1)+4与0的关系，可判断；对于D，利用作差法，可判断．
解：对于A，f′(x)=2(x−1)(x−4)+(x−1)2=3(x−1)(x−3)，
易知当x∈(1,3)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(1,3)上单调递减，
当x∈(−∞，1)⋃(3，+∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(−∞,1)，(3,+∞)上单调递增，
故x=3是函数f(x)的极小值点，选项A正确；
对于B，当0<x<1时，0<x2<1，且x2<x，
又f(x)在(0,1)上单调递增，
则f(x2)<f(x)，选项B错误；
对于C，由于1<x<2，
一方面，f(2x−1)=(2x−2)2(2x−5)=4(x−1)2(2x−5)<0，
另一方面，f(2x−1)+4=4(x−1)2(2x−5)+4=4[(x−1)2(2x−5)+1]=4(x−2)2(2x−1)>0，
则−4<f(2x−1)<0，选项C正确；
对于D，由于−1<x<0，
则f(2−x)−f(x)=(x−1)2(−2−x)−(x−1)2(x−4)=(x−1)2(2−2x)=−2(x−1)3>0，
即f(2−x)>f(x)，选项D正确．
故选：ACD．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值点，考查运算求解能力，属于中档题．
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