2024年高考数学新高考Ⅰ-5

（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为

$\sqrt{3}$ ，则圆锥的体积为(　　)
A．

$2\sqrt{3}\pi$ B．

$3\sqrt{3}\pi$ C．

$6\sqrt{3}\pi$ D．

$9\sqrt{3}\pi$
答案：B
分析：设出底面半径，通过高结合侧面积相等，求解底面半径，然后求解圆锥的体积．
解：设圆锥的底面半径为：

$r$ ，圆锥的母线长为：

$\sqrt{3+{r}^{2}}$ ，
圆柱和圆锥的侧面积相等，可得

$2\sqrt{3}\pi r=\dfrac{1}{2}\times 2\pi r\times \sqrt{3+{r}^{2}}$ ，
解得

$r=3$ ，圆锥的体积为：

$\dfrac{1}{3}\times \pi \times {3}^{2}\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}\pi$ ．
故选：B．
点评：本题考查空间几何体的侧面积和体积的求法，是基础题．

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