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2024年高考数学上海春16

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（5分）现定义如下：当

$x\in (n,n+1)$ 时

$(n\in N)$ ，若

$f(x+1)=f\prime (x)$ ，则称

$f(x)$ 为延展函数．现有，当

$x\in (0,1)$ 时，

$g(x)=e^{x}$ 与

$h(x)=x^{10}$ 均为延展函数，则以下结论

$($ 　　

$)$
（1）存在

$y=kx+b(k$ ，

$b\in R$ ；

$k$ ，

$b\ne 0)$ 与

$y=g(x)$ 有无穷个交点
（2）存在

$y=kx+b(k$ ，

$b\in R$ ；

$k$ ，

$b\ne 0)$ 与

$y=h(x)$ 有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立

答案：

$D$
分析：根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得

$g(x)$ 是周期为1的周期函数，结合一次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案．
解：根据题意，当

$x\in (0,1)$ 时，

$g(x)=e^{x}$ 与

$h(x)=x^{10}$ 均为延展函数，
对于①，对于

$g(x)=e^{x}$ ，

$g(x+1)=g\prime (x)=e^{x}$ ，
则

$g(x)$ 是周期为1的周期函数，其值域为

$(1,e)$ ，
因为

$k\ne 0$ ，

$y=kx+b$ 与

$y=g(x)$ 不会有无穷个交点，所以（1）错；
对于②，当

$k=10!$ 时，存在

$b$ 使得直线

$y=kx+b$ 可以与

$h(x)$ 在区间

$(9,10)$ 的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．
故选：

$D$ ．
点评：本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题．

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