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2024年高考数学上海春15<-->2024年高考数学上海春17
（5分）现定义如下：当$x\in (n,n+1)$时$(n\in N)$，若$f(x+1)=f\prime (x)$，则称$f(x)$为延展函数．现有，当$x\in (0,1)$时，$g(x)=e^{x}$与$h(x)=x^{10}$均为延展函数，则以下结论$($ $)$
（1）存在$y=kx+b(k$，$b\in R$；$k$，$b\ne 0)$与$y=g(x)$有无穷个交点
（2）存在$y=kx+b(k$，$b\in R$；$k$，$b\ne 0)$与$y=h(x)$有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立
答案：$D$
分析：根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得$g(x)$是周期为1的周期函数，结合一次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案．
解：根据题意，当$x\in (0,1)$时，$g(x)=e^{x}$与$h(x)=x^{10}$均为延展函数，
对于①，对于$g(x)=e^{x}$，$g(x+1)=g\prime (x)=e^{x}$，
则$g(x)$是周期为1的周期函数，其值域为$(1,e)$，
因为$k\ne 0$，$y=kx+b$与$y=g(x)$不会有无穷个交点，所以（1）错；
对于②，当$k=10!$时，存在$b$使得直线$y=kx+b$可以与$h(x)$在区间$(9,10)$的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．
故选：$D$．
点评：本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题．
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