|
2024年高考数学上海春16<-->2024年高考数学上海春18
（14分）已知$f(x)=\sin (\omega x+\dfrac{\pi }{3})$，$\omega > 0$．
（1）设$\omega =1$，求解：$y=f(x)$，$x\in [0$，$\pi ]$的值域；
（2）$a > \pi (a\in R)$，$f(x)$的最小正周期为$\pi$，若在$x\in [\pi$，$a]$上恰有3个零点，求$a$的取值范围．
答案：（1）$[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$1]$．（2）$[\dfrac{7\pi }{3}$，$\dfrac{17\pi }{6})$．
分析：（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出函数的最值，可得结论．
（2）由题意，根据正弦函数的周期性和零点，求出$a$的取值范围．
解：（1）当$\omega =1$时，$f(x)=\sin (\omega x+\dfrac{\pi }{3})=\sin (x+\dfrac{\pi }{3})$．
因为$x\in [0$，$\pi ]$，所以令$t=x+\dfrac{\pi }{3},t\in [\dfrac{\pi }{3},\dfrac{4\pi }{3}]$，
根据$y=f(t)=\sin t$在$[\dfrac{\pi }{3},\dfrac{\pi }{2}]$上单调递增，在$[\dfrac{\pi }{2},\dfrac{4\pi }{3}]$上单调递减，
所以函数的最大值为$\sin \dfrac{\pi }{2}=1$，最小值为$\sin \dfrac{4\pi }{3}=-\sin \dfrac{\pi }{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
因此函数的值域为$[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$1]$．
（2）由题知$T=\dfrac{2\pi }{\omega }=\pi$，所以$\omega =2$，$f(x)=\sin (2x+\dfrac{\pi }{3})$．
当$f(x)=0$时，$2x+\dfrac{\pi }{3}=k\pi ,k\in Z$，即$x=-\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2},k\in Z$．
当$k=3$时，$x=\dfrac{4\pi }{3} > \pi$，所以$\dfrac{4\pi }{3}+T\leqslant a < \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{3}{2}T$，即$\dfrac{7\pi }{3}\leqslant a < \dfrac{17\pi }{6}$．
因此，$a$的取值范围为$[\dfrac{7\pi }{3}$，$\dfrac{17\pi }{6})$．
点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
2024年高考数学上海春16<-->2024年高考数学上海春18
全网搜索"2024年高考数学上海春17"相关
|
