首页 > 数学 > 高考题 > 2024 > 2024年上海春

2024年高考数学上海春17

2024年高考数学上海春16<-->2024年高考数学上海春18

（14分）已知

$f(x)=\sin (\omega x+\dfrac{\pi }{3})$ ，

$\omega > 0$ ．
（1）设

$\omega =1$ ，求解：

$y=f(x)$ ，

$x\in [0$ ，

$\pi ]$ 的值域；
（2）

$a > \pi (a\in R)$ ，

$f(x)$ 的最小正周期为

$\pi$ ，若在

$x\in [\pi$ ，

$a]$ 上恰有3个零点，求

$a$ 的取值范围．

答案：（1）

$[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$1]$ ．（2）

$[\dfrac{7\pi }{3}$ ，

$\dfrac{17\pi }{6})$ ．
分析：（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出函数的最值，可得结论．
（2）由题意，根据正弦函数的周期性和零点，求出

$a$ 的取值范围．
解：（1）当

$\omega =1$ 时，

$f(x)=\sin (\omega x+\dfrac{\pi }{3})=\sin (x+\dfrac{\pi }{3})$ ．
因为

$x\in [0$ ，

$\pi ]$ ，所以令

$t=x+\dfrac{\pi }{3},t\in [\dfrac{\pi }{3},\dfrac{4\pi }{3}]$ ，
根据

$y=f(t)=\sin t$ 在

$[\dfrac{\pi }{3},\dfrac{\pi }{2}]$ 上单调递增，在

$[\dfrac{\pi }{2},\dfrac{4\pi }{3}]$ 上单调递减，
所以函数的最大值为

$\sin \dfrac{\pi }{2}=1$ ，最小值为

$\sin \dfrac{4\pi }{3}=-\sin \dfrac{\pi }{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ．
因此函数的值域为

$[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$1]$ ．
（2）由题知

$T=\dfrac{2\pi }{\omega }=\pi$ ，所以

$\omega =2$ ，

$f(x)=\sin (2x+\dfrac{\pi }{3})$ ．
当

$f(x)=0$ 时，

$2x+\dfrac{\pi }{3}=k\pi ,k\in Z$ ，即

$x=-\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2},k\in Z$ ．
当

$k=3$ 时，

$x=\dfrac{4\pi }{3} > \pi$ ，所以

$\dfrac{4\pi }{3}+T\leqslant a < \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{3}{2}T$ ，即

$\dfrac{7\pi }{3}\leqslant a < \dfrac{17\pi }{6}$ ．
因此，

$a$ 的取值范围为

$[\dfrac{7\pi }{3}$ ，

$\dfrac{17\pi }{6})$ ．
点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．

2024年高考数学上海春16<-->2024年高考数学上海春18

全网搜索"2024年高考数学上海春17"相关

相关知识

无相关信息

学习笔记（共有 0 条）

活在当下，做最好的自己！

2024年高考数学上海春17