2024年高考数学甲卷-文17

（12分）已知等比数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和为

$S_{n}$ ，且

$2S_{n}=3a_{n+1}-3$ ．
（1）求

$\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列

$\{S_{n}\}$ 的通项公式．
分析：（1）由已知递推关系进行转化，然后结合等比数列的定义及通项公式即可求解；
（2）结合已知递推关系及（1）的结论即可求解．
解：（1）因为

$2S_{n}=3a_{n+1}-3$ ，
所以

$2S_{n+1}=3a_{n+2}-3$ ，
两式相减可得：

$2a_{n+1}=3a_{n+2}-3a_{n+1}$ ，即

$3a_{n+2}=5a_{n+1}$ ，
所以等比数列

$\{a_{n}\}$ 的公比

$q=\dfrac{5}{3}$ ，
又因为

$2S_{1}=3a_{2}-3=5a_{1}-3$ ，
所以

$a_{1}=1$ ，

$a_n=(\dfrac{5}{3})^{n-1}$ ；
（2）因为

$2S_{n}=3a_{n+1}-3$ ，
所以

$S_n=\dfrac{3}{2}(a_{n+1}-1)=\dfrac{3}{2}[(\dfrac{5}{3})^n-1]$ ．
点评：本题主要考查了和与项的递推关系及等比数列的定义，通项公式的应用，属于中档题．

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