2024年高考数学甲卷-文18

（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

（1）填写如下列联表：

能否有

$95%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有

$99%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率

$p=0.5$ ．设

$\overline{p}$ 为升级改造后抽取的

$n$ 件产品的优级品率．如果

$\overline{p} > p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？

$(\sqrt{150}\approx 12.247)$
附：

$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

$P(K^{2}\geqslant k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

分析：（1）根据题目所给的数据填写

$2\times 2$ 列联表，计算

$K^{2}$ ，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）由题意求得

$\overline{p}$ ，比较

$\overline{p}$ 和

$p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ ，即可得出结论．
解：（1）根据题目所给数据得到如下

$2\times 2$ 的列联表：

零假设

$H_{0}$ ：根据

$\alpha =0.05$ 的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，

$X^{2}=\dfrac{150\times (70\times 24-26\times 30)^{2}}{96\times 54\times 50\times 100}=4.6875 > 3.841$ ，
有

$95%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
零假设

$H_{0}$ ：根据

$\alpha =0.01$ 的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，

$4.6875 < 6.635$ ，没有

$99%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．
（2）由题意得

$\overline{p}=\dfrac{96}{150}=0.64$ ，

$p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}=0.5+1.65\times \sqrt{\dfrac{0.5\times 0.5}{150}}\approx 0.57$ ，
所以

$\overline{p} > p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ ，故有优化提升．
点评：本题考查独立性检验的应用，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．

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