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2024年高考数学甲卷-文17<-->2024年高考数学甲卷-文19
（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
| |
优级品 |
合格品 |
不合格品 |
总计 |
| 甲车间 |
26 |
24 |
0 |
50 |
| 乙车间 |
70 |
28 |
2 |
100 |
| 总计 |
96 |
52 |
2 |
150 |
（1）填写如下列联表：
能否有$95%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有$99%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率$p=0.5$．设$\overline{p}$为升级改造后抽取的$n$件产品的优级品率．如果$\overline{p} > p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？$(\sqrt{150}\approx 12.247)$
附：$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，
| $P(K^{2}\geqslant k)$ |
0.050 |
0.010 |
0.001 |
| $k$ |
3.841 |
6.635 |
10.828 |
分析：（1）根据题目所给的数据填写$2\times 2$列联表，计算$K^{2}$，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）由题意求得$\overline{p}$，比较$\overline{p}$和$p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$，即可得出结论．
解：（1）根据题目所给数据得到如下$2\times 2$的列联表：
| |
优级品 |
非优级品 |
| 甲车间 |
26 |
24 |
| 乙车间 |
70 |
30 |
零假设$H_{0}$：根据$\alpha =0.05$的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
$X^{2}=\dfrac{150\times (70\times 24-26\times 30)^{2}}{96\times 54\times 50\times 100}=4.6875 > 3.841$，
有$95%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
零假设$H_{0}$：根据$\alpha =0.01$的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
$4.6875 < 6.635$，没有$99%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．
（2）由题意得$\overline{p}=\dfrac{96}{150}=0.64$，$p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}=0.5+1.65\times \sqrt{\dfrac{0.5\times 0.5}{150}}\approx 0.57$，
所以$\overline{p} > p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$，故有优化提升．
点评：本题考查独立性检验的应用，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
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