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2024年高考数学甲卷-文15<-->2024年高考数学甲卷-文17
（5分）曲线$y=x^{3}-3x$与$y=-(x-1)^{2}+a$在$(0,+\infty )$上有两个不同的交点，则$a$的取值范围为_____．
分析：问题转化为$a=x^{3}-3x+(x-1)^{2}$有两个不同的零点，构造函数$\varphi (x)=x^{3}-3x+(x-1)^{2}$，对其求导，结合导数分析函数的性质，即可求解．
解：令$x^{3}-3x=-(x-1)^{2}+a$，则$a=x^{3}-3x+(x-1)^{2}$，
令$\varphi (x)=x^{3}-3x+(x-1)^{2}$，则$\varphi \prime (x)=3x^{2}-3+2(x-1)=(x-1)(3x+5)$，
因为$x > 0$，
故当$x > 1$时，$\varphi \prime (x) > 0$，$\varphi (x)$单调递增，当$0 < x < 1$时，$\varphi \prime (x) < 0$，$\varphi (x)$单调递减，
因为$\varphi (0)=1$，$\varphi$（1）$=-2$，$x\rightarrow +\infty$时，$\varphi (x)\rightarrow +\infty$，
若使得$a=x^{3}-3x+(x-1)^{2}$有两个不同零点，
则$a$的范围为$(-2,1)$．
故答案为：$(-2,1)$．
点评：本题主要考查了由函数零点求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
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