2024年高考数学甲卷-文16

（5分）曲线

$y=x^{3}-3x$ 与

$y=-(x-1)^{2}+a$ 在

$(0,+\infty )$ 上有两个不同的交点，则

$a$ 的取值范围为_____．
分析：问题转化为

$a=x^{3}-3x+(x-1)^{2}$ 有两个不同的零点，构造函数

$\varphi (x)=x^{3}-3x+(x-1)^{2}$ ，对其求导，结合导数分析函数的性质，即可求解．
解：令

$x^{3}-3x=-(x-1)^{2}+a$ ，则

$a=x^{3}-3x+(x-1)^{2}$ ，
令

$\varphi (x)=x^{3}-3x+(x-1)^{2}$ ，则

$\varphi \prime (x)=3x^{2}-3+2(x-1)=(x-1)(3x+5)$ ，
因为

$x > 0$ ，
故当

$x > 1$ 时，

$\varphi \prime (x) > 0$ ，

$\varphi (x)$ 单调递增，当

$0 < x < 1$ 时，

$\varphi \prime (x) < 0$ ，

$\varphi (x)$ 单调递减，
因为

$\varphi (0)=1$ ，

$\varphi$ （1）

$=-2$ ，

$x\rightarrow +\infty$ 时，

$\varphi (x)\rightarrow +\infty$ ，
若使得

$a=x^{3}-3x+(x-1)^{2}$ 有两个不同零点，
则

$a$ 的范围为

$(-2,1)$ ．
故答案为：

$(-2,1)$ ．
点评：本题主要考查了由函数零点求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．

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