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2024年高考数学甲卷-文12

(5分)在$\Delta ABC$中,内角$A$,$B$,$C$所对边分别为$a$,$b$,$c$,若$B=\dfrac{\pi }{3}$,$b^2=\dfrac{9}{4}ac$,则$\sin  A+\sin  C=$(  )
A.$\dfrac{3}{2}$              B.$\sqrt{2}$              C.$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$              D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案:$C$
分析:根据已知条件,结合正弦定理,以及余弦定理,即可求解.
解:因为$B=\dfrac{\pi }{3}$,$b^2=\dfrac{9}{4}ac$,
所以由正弦定理可得,$\sin  A\sin  C=\dfrac{4}{9}\sin  ^{2}B=\dfrac{1}{3}$,
由余弦定理可得:$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos  B=a^{2}+c^{2}-ac=\dfrac{9}{4}ac$,即$a^2+c^2=\dfrac{13}{4}ac$,
$\sin  ^2A+\sin  ^2C=\dfrac{13}{4}\sin  A\sin  C=\dfrac{13}{12}$,
所以$(\sin  A+\sin  C)^{2}=\sin  ^{2}A+\sin  ^{2}C+2\sin  A\sin  C=\dfrac{7}{4}$,$\sin  A+\sin  C=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
故选:$C$.
点评:本题主要考查正弦定理,以及余弦定理,属于基础题.
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