2023年高考数学新高考Ⅱ-8

（5分）记

$S_{n}$ 为等比数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，若

$S_{4}=-5$ ，

$S_{6}=21S_{2}$ ，则

$S_{8}=($ 　　

$)$
A．120 B．85 C．

$-85$ D．

$-120$
答案：

$C$
分析：由题意知公比

$q\ne 1$ ，设首项为

$a_{1}$ ，由

$S_{6}=21S_{2}$ 求出

$q^{2}$ ，再代入

$S_{4}$ 求出

$\dfrac{{a}_{1}}{1-q}$ ，由此求得

$S_{8}$ ．
解：等比数列

$\{a_{n}\}$ 中，

$S_{4}=5$ ，

$S_{6}=21S_{2}$ ，显然公比

$q\ne 1$ ，
设首项为

$a_{1}$ ，则

$\dfrac{{a}_{1}(1{-q}^{4})}{1-q}=-5$ ①，

$\dfrac{{a}_{1}(1{-q}^{6})}{1-q}=\dfrac{2{1a}_{1}(1{-q}^{2})}{1-q}$ ②，
化简②得

$q^{4}+q^{2}-20=0$ ，解得

$q^{2}=4$ 或

$q^{2}=-5$ （不合题意，舍去），
代入①得

$\dfrac{{a}_{1}}{1-q}=\dfrac{1}{3}$ ，
所以

$S_{8}=\dfrac{{a}_{1}(1{-q}^{8})}{1-q}=\dfrac{{a}_{1}}{1-q}(1-q^{4})(1+q^{4})=\dfrac{1}{3}\times (-15)\times (1+16)=-85$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查了等比数列的前

$n$ 项和公式计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．

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