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2023年高考数学新高考Ⅰ-17

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（10分）已知在

$\Delta ABC$ 中，

$A+B=3C$ ，

$2\sin (A-C)=\sin B$ ．
（1）求

$\sin A$ ；
（2）设

$AB=5$ ，求

$AB$ 边上的高．
答案：（1）

$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ；（2）6．
分析：（1）由三角形内角和可得

$C=\dfrac{\pi }{4}$ ，由

$2\sin (A-C)=\sin B$ ，可得

$2\sin (A-C)=\sin (A+C)$ ，再利用两角和与差的三角函数公式化简可得

$\sin A=3\cos A$ ，再结合平方关系即可求出

$\sin A$ ；
（2）由

$\sin B=\sin (A+C)$ 求出

$\sin B$ ，再利用正弦定理求出

$AC$ ，

$BC$ ，由等面积法即可求出

$AB$ 边上的高．
解：（1）

$\because A+B=3C$ ，

$A+B+C=\pi$ ，

$\therefore 4C=\pi$ ，

$\therefore C=\dfrac{\pi }{4}$ ，

$\because 2\sin (A-C)=\sin B$ ，

$\therefore 2\sin (A-C)=\sin [\pi -(A+C)]=\sin (A+C)$ ，

$\therefore 2\sin A\cos C-2\cos A\sin C=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ ，

$\therefore \sin A\cos C=3\cos A\sin C$ ，

$\therefore$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin A=3\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos A$ ，

$\therefore \sin A=3\cos A$ ，即

$\cos A=\dfrac{1}{3}\sin A$ ，
又

$\because \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$ ，

$\therefore$

$si{n}^{2}A+\dfrac{1}{9}si{n}^{2}A=1$ ，
解得

$\sin ^{2}A=\dfrac{9}{10}$ ，
又

$\because A\in (0,\pi )$ ，

$\therefore \sin A > 0$ ，

$\therefore \sin A=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ；
（2）由（1）可知

$\sin A=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ，

$\cos A=\dfrac{1}{3}\sin A=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$ ，

$\therefore \sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{10}}{10}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{5}{\sin \dfrac{\pi }{4}}=5\sqrt{2}$ ，

$\therefore AC=5\sqrt{2}\sin B=5\sqrt{2}\times \dfrac{2\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{10}$ ，

$BC=5\sqrt{2}\times \sin A=5\sqrt{2}\times \dfrac{3\sqrt{10}}{10}=3\sqrt{5}$ ，
设

$AB$ 边上的高为

$h$ ，
则

$\dfrac{1}{2}AB\cdot h=\dfrac{1}{2}\times AC\times BC\times \sin C$ ，

$\therefore$

$\dfrac{5}{2}h=\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{10}\times 3\sqrt{5}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，
解得

$h=6$ ，
即

$AB$ 边上的高为6．
点评：本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．

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