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2023年高考数学新高考Ⅰ-10<-->2023年高考数学新高考Ⅰ-12
（5分）已知函数$f(x)$的定义域为$R$，$f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$，则$($ $)$
A．$f(0)=0$ B．$f$（1）$=0$
C．$f(x)$是偶函数 D．$x=0$为$f(x)$的极小值点
答案：$ABC$
分析：在已知等式中，取$x=y=0$判断$A$；取$x=y=1$判断$B$；求出$f(-1)$，再取$y=-1$判断$C$；取满足等式的特殊函数判断$D$．
解：由$f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$，
取$x=y=0$，可得$f(0)=0$，故$A$正确；
取$x=y=1$，可得$f$（1）$=2f$（1），即$f$（1）$=0$，故$B$正确；
取$x=y=-1$，得$f$（1）$=2f(-1)$，即$f(-1)=\dfrac{1}{2}f$（1）$=0$，
取$y=-1$，得$f(-x)=f(x)$，可得$f(x)$是偶函数，故$C$正确；
由上可知，$f(-1)=f(0)=f$（1）$=0$，而函数解析式不确定，
不妨取$f(x)=0$，满足$f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$，
常数函数$f(x)=0$无极值，故$D$错误．
故选：$ABC$．
点评：本题考查抽象函数的应用，取特值是关键，是中档题．
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