2023年高考数学新高考Ⅰ-4

（5分）设函数

$f(x)=2^{x(x-a)}$ 在区间

$(0,1)$ 单调递减，则

$a$ 的取值范围是

$($ 　　

$)$
A．

$(-\infty$ ，

$-2]$ B．

$[-2$ ，

$0)$ C．

$(0$ ，

$2]$ D．

$[2$ ，

$+\infty )$
答案：

$D$
分析：利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
解：设

$t=x(x-a)=x^{2}-ax$ ，对称轴为

$x=\dfrac{a}{2}$ ，抛物线开口向上，

$\because y=2^{t}$ 是

$t$ 的增函数，

$\therefore$ 要使

$f(x)$ 在区间

$(0,1)$ 单调递减，
则

$t=x^{2}-ax$ 在区间

$(0,1)$ 单调递减，
即

$\dfrac{a}{2}\geqslant 1$ ，即

$a\geqslant 2$ ，
故实数

$a$ 的取值范围是

$[2$ ，

$+\infty )$ ．
故选：

$D$ ．
点评：本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．

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