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2023年高考数学乙卷-文18<-->2023年高考数学乙卷-文20
（12分）如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2√2，PB=PC=√6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．
（1）求证：EF//平面ADO；
（2）若∠POF=120∘，求三棱锥P−ABC的体积．
答案：（1）证明见解析；
（2）2√63．
分析：（1）作FH⊥AB，垂足为H，设AH=x，利用RtΔAHF∽RtΔABC得出HF，利用RtΔBHF∽RtΔOBA列方程求出x=1，判断H是AB的中点，利用中位线定理得出EF//PC，DO//PC，证明EF//DO，得出EF//平面ADO；
（2）过P作PM垂直FO的延长线交于点M，求出BO，PO，计算PM，再求ΔABC的面积和三棱锥P−ABC的体积．
（1）证明：在RtΔABC中，作FH⊥AB，垂足为H，设AH=x，则HB=2−x，
因为FH//CB，所以RtΔAHF∽RtΔABC，所以AHAB=HFBC，即x2=HF2√2，解得HF=√2x，
又因为∠BFH=∠FBO，所以∠AOB=∠FBH，且∠BHF=∠OBA=90∘，
所以RtΔBHF∽RtΔOBA，所以HFBH=ABBO，即√2x2−x=2√2，解得x=1，
即AH=1，所以H是AB的中点，F是AC的中点，
又因为E是PA的中点，所以EF//PC，同理，DO//PC，所以EF//DO，
又因为EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，
所以EF//平面ADO；
（2）解：过P作PM垂直FO的延长线交于点M，
因为PB=PC，O是BC中点，所以PO⊥BC，在RtΔPBO中，PB=√6，BO=12BC=√2，所以PO=√PB2−OB2=√6−2=2，
因为AB⊥BC，OF//AB，所以OF⊥BC，又PO⋂OF=O，PO，OF⊂平面POF，所以BC⊥平面POF，
又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM，
又BC⋂FM=O，BC，FM⊂平面ABC，
所以PM⊥平面ABC，即三棱锥P−ABC的高为PM，
因为∠POF=120∘，所以∠POM=60∘，
所以PM=POsin60∘=2×√32=√3，
ΔABC的面积为SΔABC=12×AB×BC=12×2×2√2=2√2，
所以三棱锥P−ABC的体积为VP−ABC=13×2√2×√3=2√63．
点评：本题考查了直线与平面平行的应用问题，也考查了几何体体积计算问题，是中档题．
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