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2023年高考数学乙卷-文19<-->2023年高考数学乙卷-文21
（12分）已知函数f(x)=(1x+a)ln(1+x)．
（1）当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(x))处的切线方程；
（2）若函数f(x)在(0,+∞)单调递增，求a的取值范围．
答案：（1）(ln2)x+y−ln2=0；
（2）[12,+∞)．
分析：（1）根据已知条件，先对f(x)求导，再结合导数的几何意义，即可求解；
（2）先对f(x)求导，推得(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)⋅1x+1⩾0，构造函数g(x)=ax2+x−(x+1)ln(x+1)(x>0)，通过多次利用求导，研究函数的单调性，并对a分类讨论，即可求解．
解：（1）当a=−1时，
则f(x)=(1x−1)ln(1+x)，
求导可得，f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x−1)⋅1x+1，
当x=1时，f（1）=0，
当x=−1时，f′（1）=−ln2，
故曲线y=f(x)在点(1，f(x))处的切线方程为：y−0=−ln2(x−1)，即(ln2)x+y−ln2=0；
（2）f(x)=(1x+a)ln(1+x)，
则f′(x)=(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)⋅1x+1(x>−1)，
函数f(x)在(0,+∞)单调递增，
则(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)⋅1x+1⩾0，化简整理可得，−(x+1)ln(x+1)+x+ax2⩾0，
令g(x)=ax2+x−(x+1)ln(x+1)(x>0)，
求导可得，g′(x)=2ax−ln(x+1)，
当a⩽0时，
则2ax⩽0，ln(x+1)>0，
故g′(x)<0，即g(x)在区间(0,+∞)上单调递减，
g(x)<g(0)=0，不符合题意，
令m(x)=g′(x)=2ax−ln(x+1)，
则m′(x)=2a−1x+1，
当a⩾12，即2a⩾1时，
1x+1<1，m′(x)>0，
故m(x)在区间(0,+∞)上单调递增，即g′(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
所以g′(x)>g′(0)=0，g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
g(x)>g(0)=0，符合题意，
当0<a<12时，令m′(x)=2a−1x+1=0，解得x=12a−1，
当x∈(0,12a−1)时，m′(x)<0，m(x)在区间(0,12a−1)上单调递减，即g′(x)单调递减，
g′(0)=0，
当x∈(0,12a−1)时，g′(x)<g′(0)=0，g(x)单调递减，
∵g(0)=0，
∴当x∈(0,12a−1)时，g(x)<g(0)=0，不符合题意，
综上所述，a的取值范围为[12,+∞)．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于难题．
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