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2023年高考数学乙卷-文18

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（12分）记

$S_{n}$ 为等差数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，已知

$a_{2}=11$ ，

$S_{10}=40$ ．
（1）求

$\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列

$\{\vert a_{n}\vert \}$ 的前

$n$ 项和

$T_{n}$ ．
答案：（1）

$a_{n}=-2n+15(n\in N^{\cdot })$ ．
（2）当

$1\leqslant n\leqslant 7$ 时，

$T_{n}=-n^{2}+14n$ ，
当

$n\geqslant 8$ 时，

$T_{n}=n^{2}-14n+98$ ．
分析：（1）建立方程组求出首项和公差即可．
（2）求出

$\vert a_{n}\vert$ 的表达式，讨论

$n$ 的取值，然后进行求解即可．
解：（1）在等差数列中，

$\because a_{2}=11$ ，

$S_{10}=40$ ．

$\therefore$

$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=11}\\ {10{a}_{1}+\dfrac{10\times 9}{2}d=40}\end{array}\right.$ ，即

$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=11}\\ {{a}_{1}+\dfrac{9}{2}d=4}\end{array}\right.$ ，
得

$a_{1}=13$ ，

$d=-2$ ，
则

$a_{n}=13-2(n-1)=-2n+15(n\in N^{\cdot })$ ．
（2）

$\vert a_{n}\vert =\vert -2n+15\vert =\left\{\begin{array}{l}{-2n+15,}&{1\leqslant n\leqslant 7}\\ {2n-15,}&{n\geqslant 8}\end{array}\right.$ ，
即

$1\leqslant n\leqslant 7$ 时，

$\vert a_{n}\vert =a_{n}$ ，
当

$n\geqslant 8$ 时，

$\vert a_{n}\vert =-a_{n}$ ，
当

$1\leqslant n\leqslant 7$ 时，数列

$\{\vert a_{n}\vert \}$ 的前

$n$ 项和

$T_{n}=a_{1}+\dotsb +a_{n}=13n+\dfrac{n(n-1)}{2}\times (-2)=-n^{2}+14n$ ，
当

$n\geqslant 8$ 时，数列

$\{\vert a_{n}\vert \}$ 的前

$n$ 项和

$T_{n}=a_{1}+\dotsb +a_{7}-\dotsb -a_{n}=-S_{n}+2(a_{1}+\dotsb +a_{7})=-[13n+\dfrac{n(n-1)}{2}\times (-2)]+2\times \dfrac{13+1}{2}\times 7=n^{2}-14n+98$ ．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式和数列求和，建立方程组求出首项和公差是解决本题的关键，是中档题．

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