2023年高考数学乙卷-文12

（5分）设

$A$ ，

$B$ 为双曲线

$x^{2}-\dfrac{y^2}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段

$AB$ 中点的是

$($ 　　

$)$
A．

$(1,1)$ B．

$(-1,2)$ C．

$(1,3)$ D．

$(-1,-4)$
答案：

$D$
分析：设

$AB$ 中点为

$(x_{0}$ ，

$y_{0})$ ，利用点差法求得中点弦斜率，列不等式组求解即可．
解：设

$A(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$B(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，

$AB$ 中点为

$(x_{0}$ ，

$y_{0})$ ，

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}^{2}-\dfrac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1 \\ {{x}_{2}}^{2}-\dfrac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1 \\ \end{array} \right.$ ，
①

$-$ ②得

$k_{AB}=\dfrac{{y}_{2-}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=9\times \dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}=9\times \dfrac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$ ，
即

$-3 < 9\times \dfrac{{x}_{0}}{{y}_{0}} < 3\Rightarrow -\dfrac{1}{3} < \dfrac{{x}_{0}}{{y}_{0}} < \dfrac{1}{3}$ ，
即

$\dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}} > 3$ 或

$\dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}} < -3$ ，
故

$A$ 、

$B$ 、

$C$ 错误，

$D$ 正确．
故选：

$D$ ．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，是中档题．

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