2023年高考数学乙卷-文11

（5分）已知实数

$x$ ，

$y$ 满足

$x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0$ ，则

$x-y$ 的最大值是

$($ 　　

$)$
A．

$1+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ B．4 C．

$1+3\sqrt{2}$ D．7
答案：

$C$
分析：根据题意，设

$z=x-y$ ，分析

$x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0$ 和

$x-y-z=0$ ，结合直线与圆的位置关系可得有

$\dfrac{\vert 2-1-z\vert }{\sqrt{1+1}}\leqslant 3$ ，解可得

$z$ 的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，

$x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0$ ，即

$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9$ ，其几何意义是以

$(2,1)$ 为圆心，半径为3的圆，
设

$z=x-y$ ，变形可得

$x-y-z=0$ ，其几何意义为直线

$x-y-z=0$ ，
直线

$y=x-z$ 与圆

$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9$ 有公共点，则有

$\dfrac{\vert 2-1-z\vert }{\sqrt{1+1}}\leqslant 3$ ，解可得

$1-3\sqrt{2}\leqslant z\leqslant 1+3\sqrt{2}$ ，
故

$x-y$ 的最大值为

$1+3\sqrt{2}$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．

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