|
2023年高考数学乙卷-文7<-->2023年高考数学乙卷-文9
（5分）函数$f(x)=x^{3}+ax+2$存在3个零点，则$a$的取值范围是$($ $)$
A．$(-\infty ,-2)$ B．$(-\infty ,-3)$ C．$(-4,-1)$ D．$(-3,0)$
答案：$B$
分析：求函数的导数，$f(x)$存在3个零点，等价为$f\prime (x)=0$有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，求函数的极值，建立不等式关系即可．
解：$f\prime (x)=3x^{2}+a$，
若函数$f(x)=x^{3}+ax+2$存在3个零点，
则$f\prime (x)=3x^{2}+a=0$，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，
即判别式△$=0-12a > 0$，得$a < 0$，
由$f\prime (x) > 0$得$x > \sqrt{-\dfrac{a}{3}}$或$x < -\sqrt{-\dfrac{a}{3}}$，此时$f(x)$单调递增，
由$f\prime (x) < 0$得$-\sqrt{-\dfrac{a}{3}} < x < \sqrt{-\dfrac{a}{3}}$，此时$f(x)$单调递减，
即当$x=-\sqrt{-\dfrac{a}{3}}$时，函数$f(x)$取得极大值，当$x=\sqrt{-\dfrac{a}{3}}$时，$f(x)$取得极小值，
则$f(-\sqrt{-\dfrac{a}{3}}) > 0$，$f(\sqrt{-\dfrac{a}{3}}) < 0$，
即$-\sqrt{-\dfrac{a}{3}}(-\dfrac{a}{3}+a)+2 > 0$，且$\sqrt{-\dfrac{a}{3}}(-\dfrac{a}{3}+a)+2 < 0$，
即$-\sqrt{-\dfrac{a}{3}}\times \dfrac{2a}{3}+2 > 0$，①，且$\sqrt{-\dfrac{a}{3}}\times \dfrac{2a}{3}+2 < 0$，②，
则①恒成立，
由$\sqrt{-\dfrac{a}{3}}\times \dfrac{2a}{3}+2 < 0$，$2 < -\sqrt{-\dfrac{a}{3}}\times \dfrac{2a}{3}$，
平方得$4 < -\dfrac{\;a}{3}\times \dfrac{4{a}^{2}}{9}$，即$a^{3} < -27$，
则$a < -3$，综上$a < -3$，
即实数$a$的取值范围是$(-\infty ,-3)$．
故选：$B$．
点评：本题主要考查函数零点个数的应用，求函数的导数，转化为函数极值与0的关系是解决本题的关键，是中档题．
2023年高考数学乙卷-文7<-->2023年高考数学乙卷-文9
全网搜索"2023年高考数学乙卷-文8"相关
|
