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2023年高考数学乙卷-文8

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（5分）函数

$f(x)=x^{3}+ax+2$ 存在3个零点，则

$a$ 的取值范围是

$($ 　　

$)$
A．

$(-\infty ,-2)$ B．

$(-\infty ,-3)$ C．

$(-4,-1)$ D．

$(-3,0)$
答案：

$B$
分析：求函数的导数，

$f(x)$ 存在3个零点，等价为

$f\prime (x)=0$ 有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，求函数的极值，建立不等式关系即可．
解：

$f\prime (x)=3x^{2}+a$ ，
若函数

$f(x)=x^{3}+ax+2$ 存在3个零点，
则

$f\prime (x)=3x^{2}+a=0$ ，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，
即判别式△

$=0-12a > 0$ ，得

$a < 0$ ，
由

$f\prime (x) > 0$ 得

$x > \sqrt{-\dfrac{a}{3}}$ 或

$x < -\sqrt{-\dfrac{a}{3}}$ ，此时

$f(x)$ 单调递增，
由

$f\prime (x) < 0$ 得

$-\sqrt{-\dfrac{a}{3}} < x < \sqrt{-\dfrac{a}{3}}$ ，此时

$f(x)$ 单调递减，
即当

$x=-\sqrt{-\dfrac{a}{3}}$ 时，函数

$f(x)$ 取得极大值，当

$x=\sqrt{-\dfrac{a}{3}}$ 时，

$f(x)$ 取得极小值，
则

$f(-\sqrt{-\dfrac{a}{3}}) > 0$ ，

$f(\sqrt{-\dfrac{a}{3}}) < 0$ ，
即

$-\sqrt{-\dfrac{a}{3}}(-\dfrac{a}{3}+a)+2 > 0$ ，且

$\sqrt{-\dfrac{a}{3}}(-\dfrac{a}{3}+a)+2 < 0$ ，
即

$-\sqrt{-\dfrac{a}{3}}\times \dfrac{2a}{3}+2 > 0$ ，①，且

$\sqrt{-\dfrac{a}{3}}\times \dfrac{2a}{3}+2 < 0$ ，②，
则①恒成立，
由

$\sqrt{-\dfrac{a}{3}}\times \dfrac{2a}{3}+2 < 0$ ，

$2 < -\sqrt{-\dfrac{a}{3}}\times \dfrac{2a}{3}$ ，
平方得

$4 < -\dfrac{\;a}{3}\times \dfrac{4{a}^{2}}{9}$ ，即

$a^{3} < -27$ ，
则

$a < -3$ ，综上

$a < -3$ ，
即实数

$a$ 的取值范围是

$(-\infty ,-3)$ ．
故选：

$B$ ．
点评：本题主要考查函数零点个数的应用，求函数的导数，转化为函数极值与0的关系是解决本题的关键，是中档题．

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