2023年高考数学乙卷-文5

（5分）已知

$f(x)=\dfrac{x{e^x}}{{e^{ax}}-1}$ 是偶函数，则

$a=($ 　　

$)$
A．

$-2$ B．

$-1$ C．1 D．2
答案：

$D$
分析：根据偶函数的性质，运算即可得解．
解：

$\because f(x)=\dfrac{x{e^x}}{{e^{ax}}-1}$ 的定义域为

$\{x\vert x\ne 0\}$ ，又

$f(x)$ 为偶函数，

$\therefore f(-x)=f(x)$ ，

$\therefore$

$\dfrac{-x{e}^{-x}}{{e}^{-ax}-1}=\dfrac{x{e}^{x}}{{e}^{ax}-1}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{x{e}^{ax-x}}{{e}^{ax}-1}=\dfrac{x{e}^{x}}{{e}^{ax}-1}$ ，

$\therefore ax-x=x$ ，

$\therefore a=2$ ．
故选：

$D$ ．
点评：本题考查偶函数的性质，化归转化思想，属基础题．

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