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2023年高考数学乙卷-理19

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（12分）如图，在三棱锥

$P-ABC$ 中，

$AB\bot BC$ ，

$AB=2$ ，

$BC=2\sqrt{2}$ ，

$PB=PC=\sqrt{6}$ ，

$AD=\sqrt{5}DO$ ，

$BP$ ，

$AP$ ，

$BC$ 的中点分别为

$D$ ，

$E$ ，

$O$ ，点

$F$ 在

$AC$ 上，

$BF\bot AO$ ．
（1）证明：

$EF//$ 平面

$ADO$ ；
（2）证明：平面

$ADO\bot$ 平面

$BEF$ ；
（3）求二面角

$D-AO-C$ 的正弦值．

答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ．
分析：（1）利用限量法可得

$OF//AB$ ，

$OF=\dfrac{1}{2}AB$ ，四边形

$ODEF$ 为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）由勾股定理可得

$AO\bot OD$ ，

$AO\bot EF$ ，根据面面垂直的判定定理即可证明；
（3）设二面角

$D-AO-C$ 的平面角为

$\theta$ ，可知

$\theta$ 为

$\overrightarrow{OD}$ 和

$\overrightarrow{BF}$ 的夹角，利用向量的夹角公式求解即可．
证明：（1）由题可知，

$\vert \overrightarrow{AC}\vert =2\sqrt{3}$ ，设

$\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{AC}$ ，

$\because$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\vert \overrightarrow{AB}\vert \vert \overrightarrow{AC}\vert \cos \angle BAC=4$ ，
则

$\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{AO}=(\lambda \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\cdot (\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC})=\dfrac{\lambda }{2}\vert \overrightarrow{AC}{\vert }^{2}-\dfrac{1}{2}\vert \overrightarrow{AB}{\vert }^{2}+(\dfrac{1}{2}\lambda -\dfrac{1}{2})\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=8\lambda -4=0$ ，解得

$\lambda =\dfrac{1}{2}$ ，

$\therefore OF//AB$ ，

$OF=\dfrac{1}{2}AB$ ，
而

$DE//AB$ ，

$DE=\dfrac{1}{2}AB$ ，

$\therefore DE//OF$ ，

$DE=OF$ ，

$\therefore$ 四边形

$ODEF$ 为平行四边形，

$\therefore EF//OD$ ，

$\because OD\subset$ 平面

$ADO$ ，

$EF\not\subset$ 平面

$ADO$ ，

$\therefore EF//$ 平面

$ADO$ ．
证明：（2）

$AO=\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}}=\sqrt{6}=PC=2OD$ ，

$AD=\sqrt{5}OD$ ，

$\therefore AD^{2}=AO^{2}+OD^{2}$ ，即

$AO\bot OD$ ，

$AO\bot EF$ ，

$\because BF\bot AO$ ，

$BF\bigcap EF=F$ ，

$\therefore AO\bot$ 平面

$BEF$ ，

$\because AO\subset$ 平面

$ADO$ ，

$\therefore$ 平面

$ADO\bot$ 平面

$BEF$ ．
解：（3）设二面角

$D-AO-C$ 的平面角为

$\theta$ ，

$\because AO\bot OD$ ，

$AO\bot BF$ ，

$\therefore \theta$ 为

$\overrightarrow{OD}$ 和

$\overrightarrow{BF}$ 的夹角，

$\vert \overrightarrow{BF}\vert =\dfrac{1}{2}\vert \overrightarrow{AC}\vert =\sqrt{3}$ ，

$\vert \overrightarrow{OD}\vert =\dfrac{1}{2}\vert \overrightarrow{PC}\vert =\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ，

$\cos \theta =\dfrac{\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{OD}}{\vert \overrightarrow{BF}\vert \vert \overrightarrow{OD}\vert }=\dfrac{\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OD}}{\vert \overrightarrow{BF}\vert \vert \overrightarrow{OD}\vert }=\dfrac{-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OD}}{\vert \overrightarrow{BF}\vert \vert \overrightarrow{OD}\vert }=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，

$\sin \theta =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，

$\therefore$ 二面角

$D-AO-C$ 的正弦值为

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ．
点评：本题考查直线与平面、平面与平面位置关系的判定定理，考查二面角的计算，是难题．

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