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2023年高考数学乙卷-理18

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（12分）在

$\Delta ABC$ 中，已知

$\angle BAC=120^\circ$ ，

$AB=2$ ，

$AC=1$ ．
（1）求

$\sin \angle ABC$ ；
（2）若

$D$ 为

$BC$ 上一点．且

$\angle BAD=90^\circ$ ，求

$\Delta ADC$ 的面积．
答案：（1）

$\dfrac{\sqrt{21}}{14}$ ；
（2）

$\dfrac{\sqrt{3}}{10}$ ．
分析：（1）由余弦定理可求

$BC$ ，进而可求

$\sin \angle ABC$ ；
（2）由已知可求

$\tan \angle ABC$ ，进而可得

$AD$ ，可求面积．
解：（1）

在

$\Delta ABC$ 中，由余弦定理可知

$BC^{2}=2^{2}+1^{2}-2\times 1\times 2\times \cos 120^\circ =7$ ，

$BC=\sqrt{7}$ ，

$\therefore$ 由余弦定理可得

$\cos \angle ABC=\dfrac{7+4-1}{2\times \sqrt{7}\times 2}=\dfrac{5\sqrt{7}}{14}$ ，
又

$\angle ABC\in (0^\circ ,60^\circ )$ ，

$\therefore \sin \angle ABC=\sqrt{1-co{s}^{2}\angle ABC}=\sqrt{1-\dfrac{25}{28}}=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$ ，

（2）由（1）知：

$\cos \angle ABC=\dfrac{5\sqrt{7}}{14}$ ，

$\sin \angle ABC=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$ ，

$\therefore \tan \angle ABC=\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ ，

$\therefore AD=\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$ ，

$\therefore \Delta ADC$ 的面积为

$\dfrac{1}{2}\times AD\times AC\times \sin \angle DAC=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2\sqrt{3}}{5}\times 1\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{10}$ ．
点评：本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积的计算，属基础题．

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