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2023年高考数学乙卷-理17

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（12分）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为

$x_{i}$ ，

$y_{i}(i=1$ ，2，

$\ldots 10)$ ．试验结果如下：

试验序号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
伸缩率 $x_{i}$	545	533	551	522	575	544	541	568	596	548
伸缩率 $y_{i}$	536	527	543	530	560	533	522	550	576	536

记

$z_{i}=x_{i}-y_{i}(i=1$ ，2，

$\dotsb$ ，

$10)$ ，记

$z_{1}$ ，

$z_{2}$ ，

$\dotsb$ ，

$z_{10}$ 的样本平均数为

$\overline{z}$ ，样本方差为

$s^{2}$ ．
（1）求

$\overline{z}$ ，

$s^{2}$ ；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果

$\overline{z}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}$ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
答案：（1）

$\overline{z}=11$ ，

$s^{2}=61$ ．
（2）

$\overline{z}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{{s}^{2}}{10}}$ ，有显著提高．
分析：（1）根据表中数据，计算

$z_{i}=x_{i}-y_{i}(i=1$ ，2，

$\ldots$ ，

$10)$ ，求平均数

$\overline{z}$ 和方差

$s^{2}$ ．
（2）根据

$\overline{z}$ 和

$2\sqrt{\dfrac{{s}^{2}}{10}}$ ，比较大小即可得出结论．
解：（1）根据表中数据，计算

$z_{i}=x_{i}-y_{i}(i=1$ ，2，

$\ldots$ ，

$10)$ ，填表如下：

试验序号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
伸缩率 $x_{i}$	545	533	551	522	575	544	541	568	596	548
伸缩率 $y_{i}$	536	527	543	530	560	533	522	550	576	536
$z_{i}=x_{i}-y_{i}$	9	6	8	$-8$	15	11	19	18	20	12

计算平均数为

$\overline{z}=\dfrac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}z_{i}=\dfrac{1}{10}\times (9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11$ ，
方差为

$s^{2}=\dfrac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}{{(z}_{i}-\overline{z})}^{2}=\dfrac{1}{10}\times [(-2)^{2}+(-5)^{2}+(-3)^{2}+(-19)^{2}+4^{2}+0^{2}+8^{2}+7^{2}+9^{2}+1^{2}]=61$ ．
（2）由（1）知，

$\overline{z}=11$ ，

$2\sqrt{\dfrac{{s}^{2}}{10}}=2\sqrt{6.1} < 2\sqrt{6.25}=5$ ，
所以

$\overline{z}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{{s}^{2}}{10}}$ ，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
点评：本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题．

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