2023年高考数学乙卷-理16

（5分）设

$a\in (0,1)$ ，若函数

$f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}$ 在

$(0,+\infty )$ 上单调递增，则

$a$ 的取值范围是____．
答案：

$a$ 的取值范围是

$[\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ ，

$1)$ ．
分析：由函数

$f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}$ 在

$(0,+\infty )$ 上单调递增，可得导函数

$f\prime (x)\geqslant 0$ 在

$(0,+\infty )$ 上恒成立，再参变量分离求解即可得出答案．
解：

$\because$ 函数

$f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}$ 在

$(0,+\infty )$ 上单调递增，

$\therefore f\prime (x)=a^{x}\ln a+(1+a)^{x}\ln (1+a)\geqslant 0$ 在

$(0,+\infty )$ 上恒成立，
即

$(1+a)^{x}\ln (1+a)\geqslant -a^{x}\ln a$ ，化简可得

$(\dfrac{1+a}{a})^{x}\geqslant -\dfrac{\ln a}{\ln (1+a)}$ 在

$(0,+\infty )$ 上恒成立，
而在

$(0,+\infty )$ 上

$(\dfrac{1+a}{a})^{x} > 1$ ，
故有

$1\geqslant -\dfrac{\ln a}{\ln (1+a)}$ ，由

$a\in (0,1)$ ，化简可得

$\ln (1+a)\geqslant \ln \dfrac{1}{a}$ ，
即

$1+a\geqslant \dfrac{1}{a}$ ，

$a^{2}+a-1\geqslant 0$ ，
解答

$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\leqslant a < 1$ ，
故

$a$ 的取值范围是

$[\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ ，

$1)$ ．
故答案为：

$[\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ ，

$1)$ ．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，指数函数的性质，是中档题．

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