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2023年高考数学乙卷-理15<-->2023年高考数学乙卷-理17
（5分）设$a\in (0,1)$，若函数$f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}$在$(0,+\infty )$上单调递增，则$a$的取值范围是____．
答案：$a$的取值范围是$[\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$1)$．
分析：由函数$f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}$在$(0,+\infty )$上单调递增，可得导函数$f\prime (x)\geqslant 0$在$(0,+\infty )$上恒成立，再参变量分离求解即可得出答案．
解：$\because$函数$f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}$在$(0,+\infty )$上单调递增，
$\therefore f\prime (x)=a^{x}\ln a+(1+a)^{x}\ln (1+a)\geqslant 0$在$(0,+\infty )$上恒成立，
即$(1+a)^{x}\ln (1+a)\geqslant -a^{x}\ln a$，化简可得$(\dfrac{1+a}{a})^{x}\geqslant -\dfrac{\ln a}{\ln (1+a)}$在$(0,+\infty )$上恒成立，
而在$(0,+\infty )$上$(\dfrac{1+a}{a})^{x} > 1$，
故有$1\geqslant -\dfrac{\ln a}{\ln (1+a)}$，由$a\in (0,1)$，化简可得$\ln (1+a)\geqslant \ln \dfrac{1}{a}$，
即$1+a\geqslant \dfrac{1}{a}$，$a^{2}+a-1\geqslant 0$，
解答$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\leqslant a < 1$，
故$a$的取值范围是$[\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$1)$．
故答案为：$[\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$1)$．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，指数函数的性质，是中档题．
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