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2022年高考数学浙江8

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（4分）如图，已知正三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ ，

$AC=AA_{1}$ ，

$E$ ，

$F$ 分别是棱

$BC$ ，

$A_{1}C_{1}$ 上的点．记

$EF$ 与

$AA_{1}$ 所成的角为

$\alpha$ ，

$EF$ 与平面

$ABC$ 所成的角为

$\beta$ ，二面角

$F-BC-A$ 的平面角为

$\gamma$ ，则(　　)

A．

$\alpha \leqslant \beta \leqslant \gamma$ B．

$\beta \leqslant \alpha \leqslant \gamma$ C．

$\beta \leqslant \gamma \leqslant \alpha$ D．

$\alpha \leqslant \gamma \leqslant \beta$
分析：根据线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，转化即可求解．
解：

$\because$ 正三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，

$AC=AA_{1}$ ，

$\therefore$ 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，

如图，过

$F$ 作

$FG\bot AC$ ，垂足点为

$G$ ，连接

$GE$ ，则

$A_{1}A//FG$ ，

$\therefore EF$ 与

$AA_{1}$ 所成的角为

$\angle EFG=\alpha$ ，且

$\tan \alpha =\dfrac{GE}{FG}=GE$ ，
又

$GE\in [0$ ，

$1]$ ，

$\therefore \tan \alpha \in [0$ ，

$1]$ ，

$\therefore EF$ 与平面

$ABC$ 所成的角为

$\angle FEG=\beta$ ，且

$\tan \beta =\dfrac{GF}{GE}=\dfrac{1}{GE}\in [1$ ，

$+\infty )$ ，

$\therefore \tan \beta \geqslant \tan \alpha$ ，

$...$ ①，
再过

$G$ 点作

$GH\bot BC$ ，垂足点为

$H$ ，连接

$HF$ ，
又易知

$FG\bot$ 底面

$ABC$ ，

$BC\subset$ 底面

$ABC$ ，

$\therefore BC\bot FG$ ，又

$FG\bigcap GH=G$ ，

$\therefore BC\bot$ 平面

$GHF$ ，

$\therefore$ 二面角

$F-BC-A$ 的平面角为

$\angle GHF=\gamma$ ，且

$\tan \gamma =\dfrac{GF}{GH}=\dfrac{1}{GH}$ ，又

$GH\in [0$ ，

$1]$ ，

$\therefore \tan \gamma \in [1$ ，

$+\infty )$ ，

$\therefore \tan \gamma \geqslant \tan \alpha$ ，

$...$ ②，
又

$GE\geqslant GH$ ，

$\therefore \tan \beta \leqslant \tan \gamma$ ，

$...$ ③，
由①②③得

$\tan \alpha \leqslant \tan \beta \leqslant \tan \gamma$ ，又

$\alpha$ ，

$\beta$ ，

$\gamma \in [0$ ，

$\dfrac{\pi }{2})$ ，

$y=\tan x$ 在

$[0$ ，

$\dfrac{\pi }{2})$ 单调递增，

$\therefore \alpha \leqslant \beta \leqslant \gamma$ ，
故选：

$A$ ．

点评：本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，考查了转化思想，属中档题．

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