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2022年高考数学浙江9

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（4分）已知

$a$ ，

$b\in R$ ，若对任意

$x\in R$ ，

$a\vert x-b\vert +\vert x-4\vert -\vert 2x-5\vert \geqslant 0$ ，则(　　)
A．

$a\leqslant 1$ ，

$b\geqslant 3$ B．

$a\leqslant 1$ ，

$b\leqslant 3$ C．

$a\geqslant 1$ ，

$b\geqslant 3$ D．

$a\geqslant 1$ ，

$b\leqslant 3$
分析：法一：当

$a < 1$ ，

$x\rightarrow +\infty$ 时，推导出

$a\vert x-b\vert +\vert x-4\vert -\vert 2x-5\vert =(a+1-2)x-ab-4+5 < 0$ ，与已知条件矛盾，从而

$a\geqslant 1$ ，若

$b > 3$ ，则当

$x=b$ 时，推导出

$a\vert x-b\vert +\vert x-4\vert -\vert 2x-5\vert =\vert b-4\vert -2b+5 < 0$ ，与条件矛盾，从而

$b\leqslant 3$ ．
法二：由

$a\vert x-b\vert \geqslant \vert 2x-5\vert -\vert x-4\vert$ ，作出

$f(x)=\vert 2x-5\vert -\vert x-4\vert$ 的图象，数形结合，得

$a\geqslant 1$ 且

$b\leqslant 3$ ．
解法一：当

$a < 1$ ，

$x\rightarrow +\infty$ 时，

$a\vert x-b\vert +\vert x-4\vert -\vert 2x-5\vert =a(x-b)+(x-4)-22+5=(a+1-2)x-ab-4+5 < 0$ ，与已知条件矛盾，

$\therefore a\geqslant 1$ ，
若

$b > 3$ ，则当

$x=b$ 时，

$a\vert x-b\vert +\vert x-4\vert -\vert 2x-5\vert =\vert b-4\vert -2b+5 < 0$ ，与条件矛盾，

$\therefore b\leqslant 3$ ，
故

$ABC$ 均错误，

$D$ 正确．
解法二：由

$a\vert x-b\vert \geqslant \vert 2x-5\vert -\vert x-4\vert$ ，作出

$f(x)=\vert 2x-5\vert -\vert x-4\vert$ 的图象，如图，

数形结合，得

$a\geqslant 1$ 且

$b\leqslant 3$ ．
故选：

$D$ ．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，数形结合法等提高解题效率，属于基础题．

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