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2022年高考数学天津18<-->2022年高考数学天津20
（15分）椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的右焦点为$F$、右顶点为$A$，上顶点为$B$，且满足$\dfrac{\vert {BF}\vert }{\vert {AB}\vert }=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆的离心率$e$；
（2）直线$l$与椭圆有唯一公共点$M$，与$y$轴相交于$N(N$异于$M)$．记$O$为坐标原点，若$\vert OM\vert =\vert ON\vert$，且$\Delta OMN$的面积为$\sqrt{3}$，求椭圆的标准方程．
分析：（1）根据$\dfrac{\vert {BF}\vert }{\vert {AB}\vert }=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$建立$a$，$b$的等式，再转化为$a$，$c$的等式，从而得离心率$e$的值；
（2）先由（1）将椭圆方程转化为$x^{2}+3y^{2}=a^{2}$，再设直线$l$为$y=kx+m$，联立椭圆方程求出点$M$的坐标，再由△$=0$及$\vert OM\vert =\vert ON\vert$，且$\Delta OMN$的面积为$\sqrt{3}$建立方程组，再解方程组即可得解．
解：（1）$\because$$\dfrac{\vert {BF}\vert }{\vert {AB}\vert }=\dfrac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore$$\dfrac{{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\dfrac{3}{4}$，
$\therefore a^{2}=3b^{2}$，
$\therefore a^{2}=3(a^{2}-c^{2})$，$\therefore 2a^{2}=3c^{2}$，
$\therefore e=\sqrt{\dfrac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）由（1）可知椭圆为$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{\dfrac{{a}^{2}}{3}}=1$，
即$x^{2}+3y^{2}=a^{2}$，
设直线$l:y=kx+m$，联立$x^{2}+3y^{2}=a^{2}$，消去$y$可得：
$(3k^{2}+1)x^{2}+6kmx+(3m^{2}-a^{2})=0$，又直线$l$与椭圆只有一个公共点，
$\therefore$△$=36k^{2}m^{2}-4(3k^{2}+1)(3m^{2}-a)=0$，$\therefore 3m^{2}=a^{2}(3k^{2}+1)$，
又${x}_{M}=\dfrac{-3km}{3{k}^{2}+1}$，$\therefore$${y}_{M}=k{x}_{M}+m=\dfrac{-3{k}^{2}m}{3{k}^{2}+1}+m=\dfrac{m}{3{k}^{2}+1}$，
又$\vert OM\vert =\vert ON\vert$，$\therefore$$(\dfrac{-3km}{3{k}^{2}+1})^{2}+(\dfrac{m}{3{k}^{2}+1})^{2}={m}^{2}$，
解得${k}^{2}=\dfrac{1}{3}$，$\therefore k=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
又$\Delta OMN$的面积为$\dfrac{1}{2}\cdot \vert ON\vert \cdot \vert {x}_{M}\vert =\dfrac{1}{2}\cdot \vert m\vert \cdot \vert \dfrac{-3km}{3{k}^{2}+1}\vert =\sqrt{3}$，
$\therefore$$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}{m}^{2}}{2}=\sqrt{3}$，$\therefore m^{2}=4$，
又$k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$3m^{2}=a^{2}(3k^{2}+1)$，$\therefore a^{2}=6$，$b^{2}=2$，
$\therefore$椭圆的标准方程为$\dfrac{{x}^{2}}{6}+\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$．
点评：本题考椭圆的性质，直线与椭圆相切的位置关系，方程思想，属中档题．
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