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2022年高考数学天津17<-->2022年高考数学天津19
（15分）设$\{a_{n}\}$是等差数列，$\{b_{n}\}$是等比数列，且$a_{1}=b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=1$．
（1）求$\{a_{n}\}$与$\{b_{n}\}$的通项公式；
（2）设$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，求证：$(S_{n+1}+a_{n+1})b_{n}=S_{n+1}b_{n+1}-S_{n}b_{n}$；
（3）求$\sum\limits_{k=1}^{2n}[a_{k+1}-(-1)^ka_k]b_k$．
分析：（1）设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，等比数列$\{b_{n}\}$的公比为$q$，由$a_{1}=b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=1$，可得$1+d-q=1$，$1+2d-q^{2}=1$，解得$d$，$q$，即可得出$a_{n}$．
（2）由等比数列的性质及通项公式与前$n$项和的关系结合分析法能证明$(S_{n+1}+a_{n+1})b_{n}=S_{n+1}b_{n+1}-S_{n}b_{n}$；
（3）先求出$[{a}_{2k}-(-1)^{2k-1}{a}_{2k-1}]b_{2k-1}+[a_{2k+1}-(-1)^{2k}_{2k}]b_{2k}=2k\cdot 4^{k}$，利用并项求和，结合错位相减法能求出结果．
解：（1）设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，等比数列$\{b_{n}\}$的公比为$q$，
$\because a_{1}=b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=1$，
$\therefore 1+d-q=1$，$1+2d-q^{2}=1$，
解得$d=q=2$，
$\therefore a_{n}=1+2(n-1)=2n-1$，$b_{n}=2^{n-1}$．
（2）证明：$\because b_{n+1}=2b_{n}\ne 0$，
$\therefore$要证明$(S_{n+1}+a_{n+1})b_{n}=S_{n+1}b_{n+1}-S_{n}b_{n}$，
即证明$(S_{n+1}+a_{n+1})b_{n}=2S_{n+1}\cdot b_{n}-S_{n}b_{n}$，
即证明$S_{n+1}+a_{n+1}=2S_{n+1}-S_{n}$，
即证明$a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$，
由数列的通项公式和前$n$项和的关系得：$a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$，
$\therefore (S_{n+1}+a_{n+1})b_{n}=S_{n+1}b_{n+1}-S_{n}b_{n}$．
（3）$\because [{a}_{2k}-(-1)^{2k-1}{a}_{2k-1}]b_{2k-1}+[a_{2k+1}-(-1)^{2k}_{2k}]b_{2k}$
$=(4k-1+4k-3)\times 2^{2k-2}+[4k+1-(4k-1)]\times 2^{2k-1}=2k\cdot 4^{k}$，
$\therefore \sum\limits_{k=1}^{2n}[a_{k+1}-(-1)^ka_k]b_k=\sum\limits_{k=1}^{n}{[a_{2k}-(-1)^{2k-1}a_{2k-1}]b_{2k-1}+[a_{2k+1}-(-1)^{2k}a_{2k}]b_{2k}}$
$=\sum\limits_{k=1}^{n}2k\cdot 4^{k}$，
设$T_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}2k\cdot {4}^{k}$．
则${T}_{n}=2\times 4+4\times {4}^{2}+6\times {4}^{3}+\cdot \cdot \cdot +2n\times 4^{n}$，①
$\therefore 4T_{n}=2\times 4^{2}+4\times 4^{3}+6\times 4^{4}+\cdot \cdot \cdot +2n\times 4^{n+1}$，②
①$-$②，得：
$-3T_{n}=2(4+4^{2}+4^{3}+4^{4}+\cdot \cdot \cdot +4^{n})-2n\cdot 4^{n+1}$
$=\dfrac{2\times 4(1-{4}^{n})}{1-4}-2n\times {4}^{n+1}$
$=\dfrac{(2-6n)\cdot {4}^{n+1}-8}{3}$，
$\therefore T_{n}=\dfrac{(6n-2)\cdot 4^{n+1}+8}{9}$，
$\therefore \sum\limits_{k=1}^{2n}[a_{k+1}-(-1)^ka_k]b_k=\dfrac{(6n-2)\cdot 4^{n+1}+8}{9}$．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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