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2022年高考数学天津18

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（15分）设

$\{a_{n}\}$ 是等差数列，

$\{b_{n}\}$ 是等比数列，且

$a_{1}=b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=1$ ．
（1）求

$\{a_{n}\}$ 与

$\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和为

$S_{n}$ ，求证：

$(S_{n+1}+a_{n+1})b_{n}=S_{n+1}b_{n+1}-S_{n}b_{n}$ ；
（3）求

$\sum\limits_{k=1}^{2n}[a_{k+1}-(-1)^ka_k]b_k$ ．
分析：（1）设等差数列

$\{a_{n}\}$ 的公差为

$d$ ，等比数列

$\{b_{n}\}$ 的公比为

$q$ ，由

$a_{1}=b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=1$ ，可得

$1+d-q=1$ ，

$1+2d-q^{2}=1$ ，解得

$d$ ，

$q$ ，即可得出

$a_{n}$ ．
（2）由等比数列的性质及通项公式与前

$n$ 项和的关系结合分析法能证明

$(S_{n+1}+a_{n+1})b_{n}=S_{n+1}b_{n+1}-S_{n}b_{n}$ ；
（3）先求出

$[{a}_{2k}-(-1)^{2k-1}{a}_{2k-1}]b_{2k-1}+[a_{2k+1}-(-1)^{2k}_{2k}]b_{2k}=2k\cdot 4^{k}$ ，利用并项求和，结合错位相减法能求出结果．
解：（1）设等差数列

$\{a_{n}\}$ 的公差为

$d$ ，等比数列

$\{b_{n}\}$ 的公比为

$q$ ，

$\because a_{1}=b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=1$ ，

$\therefore 1+d-q=1$ ，

$1+2d-q^{2}=1$ ，
解得

$d=q=2$ ，

$\therefore a_{n}=1+2(n-1)=2n-1$ ，

$b_{n}=2^{n-1}$ ．
（2）证明：

$\because b_{n+1}=2b_{n}\ne 0$ ，

$\therefore$ 要证明

$(S_{n+1}+a_{n+1})b_{n}=S_{n+1}b_{n+1}-S_{n}b_{n}$ ，
即证明

$(S_{n+1}+a_{n+1})b_{n}=2S_{n+1}\cdot b_{n}-S_{n}b_{n}$ ，
即证明

$S_{n+1}+a_{n+1}=2S_{n+1}-S_{n}$ ，
即证明

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$ ，
由数列的通项公式和前

$n$ 项和的关系得：

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$ ，

$\therefore (S_{n+1}+a_{n+1})b_{n}=S_{n+1}b_{n+1}-S_{n}b_{n}$ ．
（3）

$\because [{a}_{2k}-(-1)^{2k-1}{a}_{2k-1}]b_{2k-1}+[a_{2k+1}-(-1)^{2k}_{2k}]b_{2k}$

$=(4k-1+4k-3)\times 2^{2k-2}+[4k+1-(4k-1)]\times 2^{2k-1}=2k\cdot 4^{k}$ ，

$\therefore \sum\limits_{k=1}^{2n}[a_{k+1}-(-1)^ka_k]b_k=\sum\limits_{k=1}^{n}{[a_{2k}-(-1)^{2k-1}a_{2k-1}]b_{2k-1}+[a_{2k+1}-(-1)^{2k}a_{2k}]b_{2k}}$

$=\sum\limits_{k=1}^{n}2k\cdot 4^{k}$ ，
设

$T_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}2k\cdot {4}^{k}$ ．
则

${T}_{n}=2\times 4+4\times {4}^{2}+6\times {4}^{3}+\cdot \cdot \cdot +2n\times 4^{n}$ ，①

$\therefore 4T_{n}=2\times 4^{2}+4\times 4^{3}+6\times 4^{4}+\cdot \cdot \cdot +2n\times 4^{n+1}$ ，②
①

$-$ ②，得：

$-3T_{n}=2(4+4^{2}+4^{3}+4^{4}+\cdot \cdot \cdot +4^{n})-2n\cdot 4^{n+1}$

$=\dfrac{2\times 4(1-{4}^{n})}{1-4}-2n\times {4}^{n+1}$

$=\dfrac{(2-6n)\cdot {4}^{n+1}-8}{3}$ ，

$\therefore T_{n}=\dfrac{(6n-2)\cdot 4^{n+1}+8}{9}$ ，

$\therefore \sum\limits_{k=1}^{2n}[a_{k+1}-(-1)^ka_k]b_k=\dfrac{(6n-2)\cdot 4^{n+1}+8}{9}$ ．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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