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2022年高考数学天津14<-->2022年高考数学天津16
（5分）设$a\in R$，对任意实数$x$，记$f(x)=min\{\vert x\vert -2$，$x^{2}-ax+3a-5\}$．若$f(x)$至少有3个零点，则实数$a$的取值范围为 $[10$，$+\infty )$ ．
分析：设$g(x)=x^{2}-ax+3a-5$，$h(x)=\vert x\vert -2$，分析可知函数$g(x)$至少有一个零点，可得出△$\geqslant 0$，求出$a$的取值范围，然后对实数$a$的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数$a$的不等式，综合可求得实数$a$的取值范围．
解：设$g(x)=x^{2}-ax+3a-5$，$h(x)=\vert x\vert -2$，由$\vert x\vert -2=0$可得$x=\pm 2$．
要使得函数$f(x)$至少有3个零点，则函数$g(x)$至少有一个零点，
则△$=a^{2}-4(3a-5)\geqslant 0$，
解得$a\leqslant 2$或$a\geqslant 10$．
①当$a=2$时，$g(x)=x^{2}-2x+1$，作出函数$g(x)$、$h(x)$的图象如图所示：
此时函数$f(x)$只有两个零点，不满足题意；
②当$a < 2$时，设函数$g(x)$的两个零点分别为$x_{1}$、$x_{2}(x_{1} < x_{2})$，
要使得函数$f(x)$至少有3个零点，则$x_{2}\leqslant -2$，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{a}{2} < -2}\\ {g(-2)=5a-1\geqslant 0}\end{array}\right.$，解得$a\in \O$；
③当$a=10$时，$g(x)=x^{2}-10x+25$，作出函数$g(x)$、$h(x)$的图象如图所示：
由图可知，函数$f(x)$的零点个数为3，满足题意；
④当$a > 10$时，设函数$g(x)$的两个零点分别为$x_{3}$、$x_{4}(x_{3} < x_{4})$，
要使得函数$f(x)$至少有3个零点，则$x_{3}\geqslant 2$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{a}{2} > 2}\\ {g(2)=a-1\geqslant 0}\end{array}\right.$，解得$a > 4$，此时$a > 10$．
综上所述，实数$a$的取值范围是$[10$，$+\infty )$．
故答案为：$[10$，$+\infty )$．
点评：本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题．
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