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2022年高考数学天津15<-->2022年高考数学天津17
（15分）在$\Delta ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$．已知$a=\sqrt{6}$，$b=2c$，$\cos A=-\dfrac{1}{4}$．
（1）求$c$的值；
（2）求$\sin$$B$的值；
（3）求$\sin (2A-B)$的值．
分析：（1）由余弦定理及题中条件可得$c$边的值；
（2）由正弦定理可得$\sin C$的值，再由$b=2c$及正弦定理可得$\sin B$的值；
（3）求出$2A$及$B$角的正余弦值，由两角差的正弦公式可得$2A-B$的正弦值．
解（1）因为$a=\sqrt{6}$，$b=2c$，$\cos A=-\dfrac{1}{4}$，
由余弦定理可得$\cos A=\dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\dfrac{4{c}^{2}+{c}^{2}-6}{4{c}^{2}}=-\dfrac{1}{4}$，
解得：$c=1$；
（2）$\cos A=-\dfrac{1}{4}$，$A\in (0,\pi )$，所以$\sin A=\sqrt{1-co{s}^{2}A}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，
由$b=2c$，可得$\sin B=2\sin C$，
由正弦定理可得$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$，即$\dfrac{\sqrt{6}}{\dfrac{\sqrt{15}}{4}}=\dfrac{1}{\sin C}$，
可得$\sin C=\dfrac{\sqrt{10}}{8}$，
所以$\sin B=2\sin C=2\times \dfrac{\sqrt{10}}{8}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$；
（3）因为$\cos A=-\dfrac{1}{4}$，$\sin A=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，
所以$\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times (-\dfrac{1}{4})\times \dfrac{\sqrt{15}}{4}=-\dfrac{\sqrt{15}}{8}$，$\cos 2A=2\cos ^{2}A-1=2\times \dfrac{1}{16}-1=-\dfrac{7}{8}$，
$\sin B=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$，可得$\cos B=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$，
所以$\sin (2A-B)=\sin 2A\cos B-\cos 2A\sin B=-\dfrac{\sqrt{15}}{8}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}-(-\dfrac{7}{8})\times \dfrac{\sqrt{10}}{4}=\dfrac{\sqrt{10}}{8}$，
所以$\sin (2A-B)$的值为$\dfrac{\sqrt{10}}{8}$．
点评：本题考查正余弦定理及两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
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