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2022年高考数学天津13<-->2022年高考数学天津15
（5分）在ΔABC中，→CA=→a，→CB=→b，D是AC中点，→CB=2→BE，试用→a，→b表示→DE为 3→b−→a2 ，若→AB⊥→DE，则∠ACB的最大值为 ．
分析：由题意，利用两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式，求出cosC的最小值，可得∠ACB的最大值．
解：∵ΔABC中，→CA=→a，→CB=→b，D是AC中点，→CB=2→BE，如图：
∴→DE=→CE−→CD=→CB+→BE−12→CA=→b+→b2−→a2=3→b−→a2．
∵→AB=→CB−→CA=→b−→a，→AB⊥→DE，
∴→AB⋅→DE=(→b−→a)⋅3→b−→a2=12(3→b2−4→a⋅→b+→a2)=0，即4→a⋅→b=→a2+3→b2，
即4⋅a⋅b⋅cosC=a2+3b2，即cosC=a2+3b24ab⩾，
当且仅当a=3b时，等号成立，故\cos C的最小值为\dfrac{\sqrt{3}}{2}，故C的最大值为\dfrac{\pi }{6}，
即\angle ACB的最大值为\dfrac{\pi }{6}，
故答案为：\dfrac{3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{2}；\dfrac{\pi }{6}．
点评：本题主要考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式的应用，属于中档题．
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