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2022年高考数学天津13<-->2022年高考数学天津15
（5分）在$\Delta ABC$中，$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}$，$D$是$AC$中点，$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}$，试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{DE}$为 $\dfrac{3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{2}$ ，若$\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{DE}$，则$\angle ACB$的最大值为 ．
分析：由题意，利用两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式，求出$\cos C$的最小值，可得$\angle ACB$的最大值．
解：$\because \Delta ABC$中，$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}$，$D$是$AC$中点，$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}$，如图：
$\therefore$$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b}+\dfrac{\overrightarrow{b}}{2}-\dfrac{\overrightarrow{a}}{2}=\dfrac{3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{2}$．
$\because$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{DE}$，
$\therefore$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DE}=(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot \dfrac{3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{2}=\dfrac{1}{2}(3{\overrightarrow{b}}^{2}-4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\overrightarrow{a}}^{2})=0$，即$4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow{b}}^{2}$，
即$4\cdot a\cdot b\cdot \cos C=a^{2}+3b^{2}$，即$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{3b}^{2}}{4ab}\geqslant \dfrac{2\sqrt{3}ab}{4ab}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当$a=3b$时，等号成立，故$\cos C$的最小值为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，故$C$的最大值为$\dfrac{\pi }{6}$，
即$\angle ACB$的最大值为$\dfrac{\pi }{6}$，
故答案为：$\dfrac{3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{2}$；$\dfrac{\pi }{6}$．
点评：本题主要考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式的应用，属于中档题．
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