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2022年高考数学天津7<-->2022年高考数学天津9
（5分）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为$120^\circ$，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为( )
A．23 B．24 C．26 D．27
分析：根据题目插图和题干对“十字歇山”的结构特征的描述，作出几何体直观图，再求出该组合体的体积．
解：如图，该组合体由直三棱柱$AFD-BHC$和直三棱柱$AEB-DGC$组成，且$ABCD$为正方形，
设重叠后的$EG$与$FH$交点为$I$，
作$HM\bot CB$于$M$，因为$CH=BH=3$，$\angle CHB=120^\circ$，
所以$CM=BM=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$，$HM=\dfrac{3}{2}$，$BC=AB=3\sqrt{3}$，
方法①：四个形状相同的三棱锥$(I-AEB$、$I-BCH$，$I-CDG$、$I-ADF)$的体积之和，加上正四棱锥$I-ABCD$的体积：
在直棱柱$AFD-BHC$中，$AB\bot$平面$BHC$，则$AB\bot HM$，
由$AB\bigcap BC=B$可得$HM\bot$平面$ADCB$，
正四棱锥$I-ABCD$的高等于$HM$的长，
$V_{I-AEB}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 3\sqrt{3}\times \dfrac{3}{2}\times \dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{27}{8}$，$V_{I-ABCD}=\dfrac{1}{3}\times 3\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{2}$，
该组合体的体积$V=V_{I-AEB}\times 4+V_{I-ABCD}=\dfrac{27}{8}\times 4+\dfrac{27}{2}=27$；
方法②：两个直三棱柱体积相加，再减去重叠部分（正四棱锥$I-ABCD)$的体积：
在直棱柱$AFD-BHC$中，$AB\bot$平面$BHC$，则$AB\bot HM$，
由$AB\bigcap BC=B$可得$HM\bot$平面$ADCB$，
正四棱锥$I-ABCD$的高等于$HM$的长，
$V_{I-ABCD}=\dfrac{1}{3}\times 3\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{2}$，$V_{AFD-BHC}=\dfrac{1}{2}\times 3\sqrt{3}\times \dfrac{3}{2}\times 3\sqrt{3}=\dfrac{81}{4}$，
该组合体的体积$V=V_{AFD-BHC}\times 2-V_{I-ABCD}=2\times \dfrac{81}{4}-\dfrac{27}{2}=27$．
故选：$D$．
点评：本题主要考查组合体结构的认识即体积的求法，需要具备一定的直观想象能力，属于中档题．
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