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2022年高考数学天津7<-->2022年高考数学天津9
（5分）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120∘，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为( )
A．23 B．24 C．26 D．27
分析：根据题目插图和题干对“十字歇山”的结构特征的描述，作出几何体直观图，再求出该组合体的体积．
解：如图，该组合体由直三棱柱AFD−BHC和直三棱柱AEB−DGC组成，且ABCD为正方形，
设重叠后的EG与FH交点为I，
作HM⊥CB于M，因为CH=BH=3，∠CHB=120∘，
所以CM=BM=3√32，HM=32，BC=AB=3√3，
方法①：四个形状相同的三棱锥(I−AEB、I−BCH，I−CDG、I−ADF)的体积之和，加上正四棱锥I−ABCD的体积：
在直棱柱AFD−BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM，
由AB⋂BC=B可得HM⊥平面ADCB，
正四棱锥I−ABCD的高等于HM的长，
VI−AEB=13×12×3√3×32×3√32=278，VI−ABCD=13×3√3×3√3×32=272，
该组合体的体积V=VI−AEB×4+VI−ABCD=278×4+272=27；
方法②：两个直三棱柱体积相加，再减去重叠部分（正四棱锥I−ABCD)的体积：
在直棱柱AFD−BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM，
由AB⋂BC=B可得HM⊥平面ADCB，
正四棱锥I−ABCD的高等于HM的长，
VI−ABCD=13×3√3×3√3×32=272，VAFD−BHC=12×3√3×32×3√3=814，
该组合体的体积V=VAFD−BHC×2−VI−ABCD=2×814−272=27．
故选：D．
点评：本题主要考查组合体结构的认识即体积的求法，需要具备一定的直观想象能力，属于中档题．
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