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2022年高考数学天津6<-->2022年高考数学天津8
（5分）已知抛物线$y^{2}=4\sqrt{5}x$，$F_{1}$，$F_{2}$分别是双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点$F_{1}$，与双曲线的渐近线交于点$A$，若$\angle F_{1}F_{2}A=\dfrac{\pi }{4}$，则双曲线的标准方程为( )
A．$\dfrac{x^2}{10}-y^{2}=1$ B．$x^{2}-\dfrac{y^2}{16}=1$ C．$x^{2}-\dfrac{y^2}{4}=1$ D．$\dfrac{x^2}{4}-y^{2}=1$
分析：先由抛物线方程的准线方程，得双曲线的半焦距$c$，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得$\vert y_{A}\vert$，接着由$\angle F_{1}F_{2}A=\dfrac{\pi }{4}$，可得$\vert y_{A}\vert =\vert F_{1}F_{2}\vert$，从而得$b=2a$，最后再通过$c^{2}=a^{2}+b^{2}$建立方程即可求解．
解：由题意可得抛物线的准线为$x=-\sqrt{5}$，又抛物线的准线过双曲线的左焦点$F_{1}$，
$\therefore c=\sqrt{5}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-c}\\ {y=-\dfrac{b}{a}x}\end{array}\right.$，可得$\vert y_{A}\vert =\dfrac{bc}{a}$，又$\angle F_{1}F_{2}A=\dfrac{\pi }{4}$，
$\therefore \vert y_{A}\vert =\vert F_{1}F_{2}\vert$，
$\therefore$$\dfrac{bc}{a}=2c$，$\therefore b=2a$，$\therefore b^{2}=4a^{2}$，
又$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，
$\therefore 5=a^{2}+4a^{2}$，
$\therefore a^{2}=1$，$b^{2}=4$，
$\therefore$双曲线的标准方程为${x}^{2}-\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$．
故选：$C$．
点评：本题考查抛物线的性质与双曲线的性质，方程思想，属基础题．
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