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2022年高考数学乙卷-文18<-->2022年高考数学乙卷-文20
（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：$m^{2})$和材积量（单位：$m^{3})$，得到如下数据：
| 样本号$i$ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
总和 |
| 根部横截面积$x_{i}$ |
0.04 |
0.06 |
0.04 |
0.08 |
0.08 |
0.05 |
0.05 |
0.07 |
0.07 |
0.06 |
0.6 |
| 材积量$y_{i}$ |
0.25 |
0.40 |
0.22 |
0.54 |
0.51 |
0.34 |
0.36 |
0.46 |
0.42 |
0.40 |
3.9 |
并计算得$\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=0.038$，$\sum\limits_{i=1}^{10}y_{i}^{2}=1.6158$，$\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}y_{i}=0.2474$．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到$0.01)$；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为$186m^{2}$．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n{({{x_i}-\overline{x}})}({{y_i}-\overline{y}})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{{({{x_i}-\overline{x}})}^2}\sum\limits_{i=1}^n{{({{y_i}-\overline{y}})}^2}}}$，$\sqrt{1.896}\approx 1.377$．
分析：根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．
解：（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为$\overline{x}$，平均一棵的材积量为$\overline{y}$，
则根据题中数据得：$\overline{x}=\dfrac{0.6}{10}=0.06m^{2}$，$\overline{y}=\dfrac{3.9}{10}=0.39m^{3}$；
（2）由题可知，$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{10}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{10}({x}_{i}-\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{10}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}=\dfrac{0.0134}{\sqrt{0.002\times 0.0948}}=\dfrac{0.0134}{0.01\times \sqrt{1.896}}=\dfrac{0.0134}{0.01377}\approx 0.97$；
（3）设总根部面积和$X$，总材积量为$Y$，则$\dfrac{X}{Y}=\dfrac{\overline{x}}{\overline{y}}$，故$Y=\dfrac{0.39}{0.06}\times 186=1209(m^{3})$．
点评：本题考查线性回归方程，属于中档题．
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