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2022年高考数学乙卷-文20

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（12分）已知函数

$f(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x$ ．
（1）当

$a=0$ 时，求

$f(x)$ 的最大值；
（2）若

$f(x)$ 恰有一个零点，求

$a$ 的取值范围．
分析：（1）将

$a=0$ 代入，对函数

$f(x)$ 求导，判断其单调性，由此可得最大值；
（2）对函数

$f(x)$ 求导，分

$a=0$ ，

$a < 0$ ，

$0 < a < 1$ ，

$a=1$ 及

$a > 1$ 讨论即可得出结论．
解：（1）当

$a=0$ 时，

$f(x)=-\dfrac{1}{x}-\ln x(x > 0)$ ，则

${f}'(x)=\dfrac{1}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1-x}{{x}^{2}}$ ，
易知函数

$f(x)$ 在

$(0,1)$ 上单调递增，在

$(1,+\infty )$ 上单调递减，

$\therefore f(x)$ 在

$x=1$ 处取得极大值，同时也是最大值，

$\therefore$ 函数

$f(x)$ 的最大值为

$f$ （1）

$=-1$ ；
（2）

${f}'(x)=a+\dfrac{1}{{x}^{2}}-\dfrac{a+1}{x}=\dfrac{a{x}^{2}-(a+1)x+1}{{x}^{2}}=\dfrac{(x-1)(ax-1)}{{x}^{2}}$ ，
①当

$a=0$ 时，由（1）可知，函数

$f(x)$ 无零点；
②当

$a < 0$ 时，易知函数

$f(x)$ 在

$(0,1)$ 上单调递增，在

$(1,+\infty )$ 上单调递减，
又

$f$ （1）

$=a-1 < 0$ ，故此时函数

$f(x)$ 无零点；
③当

$0 < a < 1$ 时，易知函数

$f(x)$ 在

$(0,1),(\dfrac{1}{a},+\infty )$ 上单调递增，在

$(1,\dfrac{1}{a})$ 单调递减，
且

$f$ （1）

$=a-1 < 0$ ，

$f(\dfrac{1}{a})=1-a+(a+1)\ln a < 0$ ，
又由（1）可得，

$\dfrac{1}{x}+\ln x\geqslant 1$ ，即

$\ln \dfrac{1}{x}\geqslant 1-x$ ，则

$\ln x < x$ ，

$\ln \sqrt{x} < \sqrt{x}$ ，则

$\ln x < 2\sqrt{x}$ ，
当

$x > 1$ 时，

$f(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x > ax-\dfrac{1}{x}-2(a+1)\cdot \sqrt{x} > ax-(2a+3)\sqrt{x}$ ，
故存在

$m=(\dfrac{3}{a}+2)^{2} > \dfrac{1}{a}$ ，使得

$f(m) > 0$ ，

$\therefore$ 此时

$f(x)$ 在

$(0,+\infty )$ 上存在唯一零点；
④当

$a=1$ 时，

${f}'(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{{x}^{2}}\geqslant 0$ ，函数

$f(x)$ 在

$(0,+\infty )$ 上单调递增，
又

$f$ （1）

$=0$ ，故此时函数

$f(x)$ 有唯一零点；
⑤当

$a > 1$ 时，易知函数

$f(x)$ 在

$(0,\dfrac{1}{a}),(1,+\infty )$ 上单调递增，在

$(\dfrac{1}{a},1)$ 上单调递减，
且

$f$ （1）

$=a-1 > 0$ ，
又由（1）可得，当

$0 < x < 1$ 时，

$\ln x > 1-\dfrac{1}{x}$ ，则

$\ln \sqrt{x} > 1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ ，则

$\ln x > 2(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}})$ ，
此时

$f(x)=ax-\dfrac{1}{x}-2(a+1)(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}) < -\dfrac{1}{x}+\dfrac{2(a+1)}{\sqrt{x}}$ ，
故存在

$n=\dfrac{1}{4(a+1)^{2}} < \dfrac{1}{a}$ ，使得

$f(n) < 0$ ，
故函数

$f(x)$ 在

$(0,+\infty )$ 上存在唯一零点；
综上，实数

$a$ 的取值范围为

$(0,+\infty )$ ．
点评：本题考查里利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．

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