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2022年高考数学乙卷-文18

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（12分）如图，四面体

$ABCD$ 中，

$AD\bot CD$ ，

$AD=CD$ ，

$\angle ADB=\angle BDC$ ，

$E$ 为

$AC$ 的中点．
（1）证明：平面

$BED\bot$ 平面

$ACD$ ；
（2）设

$AB=BD=2$ ，

$\angle ACB=60^\circ$ ，点

$F$ 在

$BD$ 上，当

$\Delta AFC$ 的面积最小时，求三棱锥

$F-ABC$ 的体积．

分析：（1）易证

$\Delta ADB\cong \Delta CDB$ ，所以

$AC\bot BE$ ，又

$AC\bot DE$ ，由线面垂直的判定定理可得

$AC\bot$ 平面

$BED$ ，再由面面垂直的判定定理即可证得平面

$BED\bot$ 平面

$ACD$ ；
（2）由题意可知

$\Delta ABC$ 是边长为2的等边三角形，进而求出

$BE=\sqrt{3}$ ，

$AC=2$ ，

$AD=CD=\sqrt{2}$ ，

$DE=1$ ，由勾股定理可得

$DE\bot BE$ ，进而证得

$DE\bot$ 平面

$ABC$ ，连接

$EF$ ，因为

$AF=CF$ ，则

$EF\bot AC$ ，所以当

$EF\bot BD$ 时，

$EF$ 最短，此时

$\Delta AFC$ 的面积最小，求出此时点

$F$ 到平面

$ABC$ 的距离，从而求得此时三棱锥

$F-ABC$ 的体积．
证明：（1）

$\because AD=CD$ ，

$\angle ADB=\angle BDC$ ，

$BD=BD$ ，

$\therefore \Delta ADB\cong \Delta CDB$ ，

$\therefore AB=BC$ ，又

$\because E$ 为

$AC$ 的中点．

$\therefore AC\bot BE$ ，

$\because AD=CD$ ，

$E$ 为

$AC$ 的中点．

$\therefore AC\bot DE$ ，又

$\because BE\bigcap DE=E$ ，

$\therefore AC\bot$ 平面

$BED$ ，
又

$\because AC\subset$ 平面

$ACD$ ，

$\therefore$ 平面

$BED\bot$ 平面

$ACD$ ；
解：（2）由（1）可知

$AB=BC$ ，

$\therefore AB=BC=2$ ，

$\angle ACB=60^\circ$ ，

$\therefore \Delta ABC$ 是等边三角形，边长为2，

$\therefore BE=\sqrt{3}$ ，

$AC=2$ ，

$AD=CD=\sqrt{2}$ ，

$DE=1$ ，

$\because DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}$ ，

$\therefore DE\bot BE$ ，
又

$\because DE\bot AC$ ，

$AC\bigcap BE=E$ ，

$\therefore DE\bot$ 平面

$ABC$ ，
由（1）知

$\Delta ADB\cong \Delta CDB$ ，

$\therefore AF=CF$ ，连接

$EF$ ，则

$EF\bot AC$ ，

$\therefore S_{\Delta AFC}=\dfrac{1}{2}\times AC\times EF=EF$ ，

$\therefore$ 当

$EF\bot BD$ 时，

$EF$ 最短，此时

$\Delta AFC$ 的面积最小，
过点

$F$ 作

$FG\bot BE$ 于点

$G$ ，则

$FG//DE$ ，

$\therefore FG\bot$ 平面

$ABC$ ，

$\because EF=\dfrac{DE\times BE}{BD}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$\therefore BF=\sqrt{B{E}^{2}-E{F}^{2}}=\dfrac{3}{2}$ ，

$\therefore FG=\dfrac{EF\times BF}{BE}=\dfrac{3}{4}$ ，

$\therefore$ 三棱锥

$F-ABC$ 的体积

$V=\dfrac{1}{3}\times {S}_{\Delta ABC}\times FG=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\times {2}^{2}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ．

点评：本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，同时考查了学生的空间想象能力与计算能力，是中档题．

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