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2022年高考数学乙卷-文12

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（5分）已知球

$O$ 的半径为1，四棱锥的顶点为

$O$ ，底面的四个顶点均在球

$O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)
A．

$\dfrac{1}{3}$ B．

$\dfrac{1}{2}$ C．

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ D．

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
分析：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为

$a$ ，由勾股定理可知该四棱锥的高

$h=\sqrt{1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}$ ，所以该四棱锥的体积

$V=\dfrac{1}{3}{a}^{2}\sqrt{1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}$ ，再利用基本不等式即可求出

$V$ 的最大值，以及此时

$a$ 的值，进而求出

$h$ 的值．
解：对于圆内接四边形，如图所示，

${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD\cdot \sin\theta \dfrac{1}{2}2r\cdot 2r\cdot \sin90{}^\circ =2{{r}^{2}}$ ，
当且仅当

$AC$ ，

$BD$ 为圆的直径，且

$AC\bot BD$ 时，等号成立，此时四边形

$ABCD$ 为正方形，

$\therefore$ 当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为

$a$ ，底面所在圆的半径为

$r$ ，
则

$r=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ ，

$\therefore$ 该四棱锥的高

$h=\sqrt{1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}$ ，

$\therefore$ 该四棱锥的体积

$V=\dfrac{1}{3}{a}^{2}\sqrt{1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}=\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{{a}^{2}}{4}\cdot \dfrac{{a}^{2}}{4}\cdot (1-\dfrac{{a}^{2}}{2})}\leqslant \dfrac{4}{3}\sqrt{(\dfrac{\dfrac{{a}^{2}}{4}+\dfrac{{a}^{2}}{4}+1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}{3})^{3}}=\dfrac{4}{3}\sqrt{(\dfrac{1}{3})^{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{27}$ ，
当且仅当

$\dfrac{{a}^{2}}{4}=1-\dfrac{{a}^{2}}{2}$ ，即

${a}^{2}=\dfrac{4}{3}$ 时，等号成立，

$\therefore$ 该四棱锥的体积最大时，其高

$h=\sqrt{1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}=\sqrt{1-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，
故选：

$C$ ．

点评：本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题．

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