|
2022年高考数学乙卷-文11<-->2022年高考数学乙卷-文13
（5分）已知球$O$的半径为1，四棱锥的顶点为$O$，底面的四个顶点均在球$O$的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A．$\dfrac{1}{3}$ B．$\dfrac{1}{2}$ C．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ D．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
分析：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为$a$，由勾股定理可知该四棱锥的高$h=\sqrt{1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}$，所以该四棱锥的体积$V=\dfrac{1}{3}{a}^{2}\sqrt{1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}$，再利用基本不等式即可求出$V$的最大值，以及此时$a$的值，进而求出$h$的值．
解：对于圆内接四边形，如图所示，
${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD\cdot \sin\theta \dfrac{1}{2}2r\cdot 2r\cdot \sin90{}^\circ =2{{r}^{2}}$，
当且仅当$AC$，$BD$为圆的直径，且$AC\bot BD$时，等号成立，此时四边形$ABCD$为正方形，
$\therefore$当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为$a$，底面所在圆的半径为$r$，
则$r=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$，
$\therefore$该四棱锥的高$h=\sqrt{1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}$，
$\therefore$该四棱锥的体积$V=\dfrac{1}{3}{a}^{2}\sqrt{1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}=\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{{a}^{2}}{4}\cdot \dfrac{{a}^{2}}{4}\cdot (1-\dfrac{{a}^{2}}{2})}\leqslant \dfrac{4}{3}\sqrt{(\dfrac{\dfrac{{a}^{2}}{4}+\dfrac{{a}^{2}}{4}+1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}{3})^{3}}=\dfrac{4}{3}\sqrt{(\dfrac{1}{3})^{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{27}$，
当且仅当$\dfrac{{a}^{2}}{4}=1-\dfrac{{a}^{2}}{2}$，即${a}^{2}=\dfrac{4}{3}$时，等号成立，
$\therefore$该四棱锥的体积最大时，其高$h=\sqrt{1-\dfrac{{a}^{2}}{2}}=\sqrt{1-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：$C$．
点评：本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
2022年高考数学乙卷-文11<-->2022年高考数学乙卷-文13
全网搜索"2022年高考数学乙卷-文12"相关
|
