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2022年高考数学乙卷-文11

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（5分）函数

$f(x)=\cos x+(x+1)\sin x+1$ 在区间

$[0$ ，

$2\pi ]$ 的最小值、最大值分别为(　　)
A．

$-\dfrac{\pi }{2}$ ，

$\dfrac{\pi }{2}$ B．

$-\dfrac{3\pi }{2}$ ，

$\dfrac{\pi }{2}$ C．

$-\dfrac{\pi }{2}$ ，

$\dfrac{\pi }{2}+2$ D．

$-\dfrac{3\pi }{2}$ ，

$\dfrac{\pi }{2}+2$
分析：先求出导函数

$f\prime (x)=(x+1)\cos x$ ，令

$\cos x=0$ 得，

$x=\dfrac{\pi }{2}$ 或

$\dfrac{3\pi }{2}$ ，根据导函数

$f\prime (x)$ 的正负得到函数

$f(x)$ 的单调性，进而求出函数

$f(x)$ 的极值，再与端点值比较即可．
解：

$f(x)=\cos x+(x+1)\sin x+1$ ，

$x\in [0$ ，

$2\pi ]$ ，
则

$f\prime (x)=-\sin x+\sin x+(x+1)\cos x=(x+1)\cos x$ ，
令

$\cos x=0$ 得，

$x=\dfrac{\pi }{2}$ 或

$\dfrac{3\pi }{2}$ ，

$\therefore$ 当

$x\in [0$ ，

$\dfrac{\pi }{2})$ 时，

$f\prime (x) > 0$ ，

$f(x)$ 单调递增；当

$x\in (\dfrac{\pi }{2},\dfrac{3\pi }{2})$ 时，

$f\prime (x) < 0$ ，

$f(x)$ 单调递减；当

$x\in (\dfrac{3\pi }{2}$ ，

$2\pi ]$ 时，

$f\prime (x) > 0$ ，

$f(x)$ 单调递增，

$\therefore f(x)$ 在区间

$[0$ ，

$2\pi ]$ 上的极大值为

$f(\dfrac{\pi }{2})=\dfrac{\pi }{2}+2$ ，极小值为

$f(\dfrac{3\pi }{2})=-\dfrac{3\pi }{2}$ ，
又

$\because f(0)=2$ ，

$f(2\pi )=2$ ，

$\therefore$ 函数

$f(x)$ 在区间

$[0$ ，

$2\pi ]$ 的最小值为

$-\dfrac{3\pi }{2}$ ，最大值为

$\dfrac{\pi }{2}+2$ ，
故选：

$D$ ．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．

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