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2022年高考数学乙卷-文10<-->2022年高考数学乙卷-文12
（5分）函数$f(x)=\cos x+(x+1)\sin x+1$在区间$[0$，$2\pi ]$的最小值、最大值分别为( )
A．$-\dfrac{\pi }{2}$，$\dfrac{\pi }{2}$ B．$-\dfrac{3\pi }{2}$，$\dfrac{\pi }{2}$ C．$-\dfrac{\pi }{2}$，$\dfrac{\pi }{2}+2$ D．$-\dfrac{3\pi }{2}$，$\dfrac{\pi }{2}+2$
分析：先求出导函数$f\prime (x)=(x+1)\cos x$，令$\cos x=0$得，$x=\dfrac{\pi }{2}$或$\dfrac{3\pi }{2}$，根据导函数$f\prime (x)$的正负得到函数$f(x)$的单调性，进而求出函数$f(x)$的极值，再与端点值比较即可．
解：$f(x)=\cos x+(x+1)\sin x+1$，$x\in [0$，$2\pi ]$，
则$f\prime (x)=-\sin x+\sin x+(x+1)\cos x=(x+1)\cos x$，
令$\cos x=0$得，$x=\dfrac{\pi }{2}$或$\dfrac{3\pi }{2}$，
$\therefore$当$x\in [0$，$\dfrac{\pi }{2})$时，$f\prime (x) > 0$，$f(x)$单调递增；当$x\in (\dfrac{\pi }{2},\dfrac{3\pi }{2})$时，$f\prime (x) < 0$，$f(x)$单调递减；当$x\in (\dfrac{3\pi }{2}$，$2\pi ]$时，$f\prime (x) > 0$，$f(x)$单调递增，
$\therefore f(x)$在区间$[0$，$2\pi ]$上的极大值为$f(\dfrac{\pi }{2})=\dfrac{\pi }{2}+2$，极小值为$f(\dfrac{3\pi }{2})=-\dfrac{3\pi }{2}$，
又$\because f(0)=2$，$f(2\pi )=2$，
$\therefore$函数$f(x)$在区间$[0$，$2\pi ]$的最小值为$-\dfrac{3\pi }{2}$，最大值为$\dfrac{\pi }{2}+2$，
故选：$D$．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．
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