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2022年高考数学甲卷-文19<-->2022年高考数学甲卷-文21
（12分）已知函数$f(x)=x^{3}-x$，$g(x)=x^{2}+a$，曲线$y=f(x)$在点$(x_{1}$，$f(x_{1}))$处的切线也是曲线$y=g(x)$的切线．
（1）若$x_{1}=-1$，求$a$；
（2）求$a$的取值范围．
分析：（1）先由$f(x)$上的切点求出切线方程，设出$g(x)$上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出$a$即可；
（2）设出$g(x)$上的切点坐标，分别由$f(x)$和$g(x)$及切点表示出切线方程，由切线重合表示出$a$，构造函数，求导求出函数值域，即可求得$a$的取值范围．
解：（1）由题意知，$f(-1)=-1-(-1)=0$，$f'(x)=3x^{2}-1$，$f'(-1)=3-1=2$，则$y=f(x)$在点$(-1,0)$处的切线方程为$y=2(x+1)$，
即$y=2x+2$，设该切线与$g(x)$切于点$(x_{2}$，$g(x_{2}))$，$g'(x)=2x$，则$g'(x_{2})=2x_{2}=2$，解得$x_{2}=1$，则$g$（1）$=1+a=2+2$，解得$a=3$；
（2）$f'(x)=3x^{2}-1$，则$y=f(x)$在点$(x_{1}$，$f(x_{1}))$处的切线方程为$y-(x_{1}^{3}-x_{1})=(3x_{1}^{2}-1)(x-x_{1})$，整理得$y=(3x_{1}^{2}-1)x-2x_{1}^{3}$，
设该切线与$g(x)$切于点$(x_{2}$，$g(x_{2}))$，$g'(x)=2x$，则$g'(x_{2})=2x_{2}$，则切线方程为$y-(x_{2}^{2}+a)=2x_{2}(x-x_{2})$，整理得$y=2x_{2}x-x_{2}^{2}+a$，
则$\left\{\begin{array}{l}{3x_{1}^{2}-1=2x_{2}}\\ {-2x_{1}^{3}=-x_{2}^{2}+a}\end{array}\right.$，整理得$a=x_{2}^{2}-2x_{1}^{3}=(\dfrac{3x_{1}^{2}}{2}-\dfrac{1}{2})^{2}-2x_{1}^{3}=\dfrac{9}{4}x_{1}^{4}-2x_{1}^{3}-\dfrac{3}{2}x_{1}^{2}+\dfrac{1}{4}$，
令$h(x)=\dfrac{9}{4}x^{4}-2x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+\dfrac{1}{4}$，则$h'(x)=9x^{3}-6x^{2}-3x=3x(3x+1)(x-1)$，令$h'(x) > 0$，解得$-\dfrac{1}{3} < x < 0$或$x > 1$，
令$h'(x) < 0$，解得$x < -\dfrac{1}{3}$或$0 < x < 1$，则$x$变化时，$h'(x)$，$h(x)$的变化情况如下表：
| $x$ |
$(-\infty ,-\dfrac{1}{3})$ |
$-\dfrac{1}{3}$ |
$(-\dfrac{1}{3},0)$ |
0 |
$(0,1)$ |
1 |
$(1,+\infty )$ |
| $h\prime (x)$ |
$-$ |
0 |
$+$ |
0 |
$-$ |
0 |
$+$ |
| $h(x)$ |
单调递减 |
$\dfrac{5}{27}$ |
单调递增 |
$\dfrac{1}{4}$ |
单调递减 |
$-1$ |
单调递增 |
则$h(x)$的值域为$[-1$，$+\infty )$，故$a$的取值范围为$[-1$，$+\infty )$．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．
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