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2022年高考数学甲卷-文20

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（12分）已知函数

$f(x)=x^{3}-x$ ，

$g(x)=x^{2}+a$ ，曲线

$y=f(x)$ 在点

$(x_{1}$ ，

$f(x_{1}))$ 处的切线也是曲线

$y=g(x)$ 的切线．
（1）若

$x_{1}=-1$ ，求

$a$ ；
（2）求

$a$ 的取值范围．
分析：（1）先由

$f(x)$ 上的切点求出切线方程，设出

$g(x)$ 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出

$a$ 即可；
（2）设出

$g(x)$ 上的切点坐标，分别由

$f(x)$ 和

$g(x)$ 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出

$a$ ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得

$a$ 的取值范围．
解：（1）由题意知，

$f(-1)=-1-(-1)=0$ ，

$f'(x)=3x^{2}-1$ ，

$f'(-1)=3-1=2$ ，则

$y=f(x)$ 在点

$(-1,0)$ 处的切线方程为

$y=2(x+1)$ ，
即

$y=2x+2$ ，设该切线与

$g(x)$ 切于点

$(x_{2}$ ，

$g(x_{2}))$ ，

$g'(x)=2x$ ，则

$g'(x_{2})=2x_{2}=2$ ，解得

$x_{2}=1$ ，则

$g$ （1）

$=1+a=2+2$ ，解得

$a=3$ ；
（2）

$f'(x)=3x^{2}-1$ ，则

$y=f(x)$ 在点

$(x_{1}$ ，

$f(x_{1}))$ 处的切线方程为

$y-(x_{1}^{3}-x_{1})=(3x_{1}^{2}-1)(x-x_{1})$ ，整理得

$y=(3x_{1}^{2}-1)x-2x_{1}^{3}$ ，
设该切线与

$g(x)$ 切于点

$(x_{2}$ ，

$g(x_{2}))$ ，

$g'(x)=2x$ ，则

$g'(x_{2})=2x_{2}$ ，则切线方程为

$y-(x_{2}^{2}+a)=2x_{2}(x-x_{2})$ ，整理得

$y=2x_{2}x-x_{2}^{2}+a$ ，
则

$\left\{\begin{array}{l}{3x_{1}^{2}-1=2x_{2}}\\ {-2x_{1}^{3}=-x_{2}^{2}+a}\end{array}\right.$ ，整理得

$a=x_{2}^{2}-2x_{1}^{3}=(\dfrac{3x_{1}^{2}}{2}-\dfrac{1}{2})^{2}-2x_{1}^{3}=\dfrac{9}{4}x_{1}^{4}-2x_{1}^{3}-\dfrac{3}{2}x_{1}^{2}+\dfrac{1}{4}$ ，
令

$h(x)=\dfrac{9}{4}x^{4}-2x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+\dfrac{1}{4}$ ，则

$h'(x)=9x^{3}-6x^{2}-3x=3x(3x+1)(x-1)$ ，令

$h'(x) > 0$ ，解得

$-\dfrac{1}{3} < x < 0$ 或

$x > 1$ ，
令

$h'(x) < 0$ ，解得

$x < -\dfrac{1}{3}$ 或

$0 < x < 1$ ，则

$x$ 变化时，

$h'(x)$ ，

$h(x)$ 的变化情况如下表：

$x$	$(-\infty ,-\dfrac{1}{3})$	$-\dfrac{1}{3}$	$(-\dfrac{1}{3},0)$	0	$(0,1)$	1	$(1,+\infty )$
$h\prime (x)$	$-$	0	$+$	0	$-$	0	$+$
$h(x)$	单调递减	$\dfrac{5}{27}$	单调递增	$\dfrac{1}{4}$	单调递减	$-1$	单调递增

则

$h(x)$ 的值域为

$[-1$ ，

$+\infty )$ ，故

$a$ 的取值范围为

$[-1$ ，

$+\infty )$ ．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．

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